Pöschl–Teller potential

Inom matematisk fysik är en Pöschl–Teller-potential , uppkallad efter fysikerna Herta Pöschl (krediterad som G. Pöschl) och Edward Teller , en speciell klass av potentialer för vilka den endimensionella Schrödinger-ekvationen kan lösas i termer av speciella funktioner .

Definition

I sin symmetriska form ges uttryckligen av

Symmetrisk Pöschl–Teller potential: $-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}\operatörsnamn {sech} ^{2} (x)$ . Den visar egenvärdena för μ=1, 2, 3, 4, 5, 6.

$V(x)=-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}\mathrm { sech} ^{2}(x)$

och lösningarna av den tidsoberoende Schrödinger-ekvationen

$-{\frac {1}{2}}\psi ''(x)+V(x)\ psi (x)=E\psi (x)$

med denna potential kan hittas i kraft av substitutionen ${\displaystyle u=\mathrm {tanh(x)} } ,$ vilket ger

$\left[(1-u^{2 })\psi '(u)\right]'+\lambda (\lambda +1)\psi (u)+{\frac {2E}{1-u^{2}}}\psi (u)=0$ .

Lösningarna $\psi (u)$ är alltså bara Legendre-funktionerna $P_{\lambda }^{\mu }(\tanh(x) )$ med $E={\frac {-\mu ^{2}}{2}}$ , och $\lambda =1,2 ,3\cdots$ , $\mu =1,2,\cdots ,\lambda -1,\lambda$ . Dessutom kan egenvärden och spridningsdata explicit beräknas. I specialfallet med heltal $\lambda$ är potentialen reflektionsfri och sådana potentialer uppstår också som N-solitonlösningarna i Korteweg- de Vries ekvation .

Den mer allmänna formen av potentialen ges av

$V(x)=-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}\mathrm {sech} ^{2}(x)-{\frac {\nu (\nu +1 )}{2}}\mathrm {csch} ^{2}(x).$

Rosen-Morse potential

En relaterad potential ges genom att introducera en ytterligare term:

$V(x)=-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}\mathrm {sech} ^{2}(x)-g\tanh x.$

Se även

• Morsepotential
• Trigonometrisk Rosen-Morse potential

externa länkar

• Egentillstånd för Pöschl-Teller-potentialer