Owens T-funktion

Inom matematiken definieras Owens T-funktion T ( h , a ), uppkallad efter statistikern Donald Bruce Owen, av

$T(h,a)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{a}{\frac {e^{-{\frac {1}{2}} h^{2}(1+x^{2})}}{1+x^{2}}}dx\quad \left(-\infty <h,a<+\infty \right).$

Funktionen introducerades först av Owen 1956.

Ansökningar

Funktionen T ( h , a ) ger sannolikheten för händelsen ( X > h och 0 < Y < aX ) där X och Y är oberoende standard normala stokastiska variabler .

Denna funktion kan användas för att beräkna bivariat normalfördelningssannolikheter och, därifrån, i beräkningen av multivariat normalfördelningssannolikheter . Det förekommer också ofta i olika integraler som involverar Gaussiska funktioner .

Datoralgoritmer för korrekt beräkning av denna funktion är tillgängliga; kvadratur har varit anställd sedan 1970-talet.

Egenskaper

$T(h,0)=0$

$T(0,a)={\frac {1}{2 \pi }}\arctan(a)$

$T(-h,a)=T(h,a)$

$T(h,-a)=-T(h,a)$

$T(h,a)+T\left(ah,{\frac {1}{a}}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\left(\ Phi (h)+\Phi (ah)\right)-\Phi (h)\Phi (ah)&{\text{if}}\quad a\geq 0\\{\frac {1}{2}} \left(\Phi (h)+\Phi (ah)\right)-\Phi (h)\Phi (ah)-{\frac {1}{2}}&{\text{if}}\quad a <0\end{fall}}$

$T(h,1)={\frac {1}{2}} \Phi (h)\left(1-\Phi (h)\right)$

${\ displaystil \int T(0,x)\,\mathrm {d} x=xT(0,x)-{\frac {1}{4\pi }}\ln \left(1+x^{2}\ höger)+C}$

Här är Φ( x ) den normala kumulativa normalfördelningsfunktionen

$\Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _ {-\infty }^{x}\exp \left(-{\frac {t^{2}}{2}}\right)\,\mathrm {d} t$

Fler egenskaper finns i litteraturen.

• Owen, D. (1980). "En tabell över normala integraler". Kommunikation i statistik: Simulering och beräkning . B9 (4): 389–419. doi : 10.1080/03610918008812164 .

programvara

• Owens T-funktion (användarwebbplats) - erbjuder biblioteken C++, FORTRAN77, FORTRAN90 och MATLAB släppta under LGPL-licensen LGPL
• Owens T-funktion är implementerad i Mathematica sedan version 8, som OwenT .

externa länkar

• Varför du bör bry dig om det obskyra (Wolfram-blogginlägg)