Osipkov–Merritt modell

Osipkov-Merritt fördelningsfunktioner, härledda från galaxmodeller som lyder Jaffes lag i densiteten. Den isotropiska modellen, $f=f(E)$ , plottas med den tunga linjen.

Osipkov-Merritt-modeller (uppkallade efter Leonid Osipkov och David Merritt ) är matematiska representationer av sfäriska stjärnsystem ( galaxer , stjärnhopar , klothopar etc.). Osipkov-Merritt-formeln genererar en enparameterfamilj av fas- rymdfördelningsfunktioner som reproducerar en specificerad densitetsprofil (som representerar stjärnor) i en specificerad gravitationspotential (där stjärnorna rör sig). Tätheten och potentialen behöver inte vara självkonsekvent relaterade. En fri parameter justerar graden av hastighetsanisotropi, från isotropa till helt radiella rörelser. Metoden är en generalisering av Eddingtons formel för att konstruera isotropa sfäriska modeller.

Metoden härleddes oberoende av dess två eponyma upptäckare. Den senare härledningen inkluderar ytterligare två familjer av modeller (typ IIa, b) med tangentiellt anisotropa rörelser.

Härledning

Enligt Jeans sats måste fas - rymddensiteten för stjärnor f kunna uttryckas i termer av rörelsens isolerande integraler, som i ett sfäriskt stjärnsystem är energin E och rörelsemängden J . Osipkov-Merritt ansatz är

$f=f(Q)=f(E+J^{2}/2r_{a}^{2})$

där r _a , "anisotropi-radien", är en fri parameter. Denna ansatz innebär att f är konstant på sfäroider i hastighetsrymden sedan dess

$2Q=v_{r}^{2}+(1+r^{2}/r_ {a}^{2})v_{t}^{2}+2\Phi (r)$

där v _r , v _t är hastighetskomponenter parallella och vinkelräta mot radievektorn r och Φ( r ) är gravitationspotentialen .

Densiteten ρ är integralen över hastigheter av f :

$\rho (r)=2\pi \int \int f(E,J)v_{t}dv_ {t}dv_{r}$

som kan skrivas

$\rho (r)={2\pi \över r^{2}}\int _{\Phi }^{ 0}dQf(Q)\int _{0}^{2r^{2}(Q-\Phi )/(1+r^{2}/r_{a}^{2})}dJ^{2} \left[2(Q-\Phi )-(J^{2}/r^{2})(1+r^{2}/r_{a}^{2})\right]^{-1/ 2}$

eller

$\rho (r)={4\pi \over 1+r^{2}/r_{a}^{2}}\int _{\Phi }^{0}dQ{\sqrt {2( Q-\Phi )}}f(Q).$

Denna ekvation har formen av en Abel-integralekvation och kan inverteras för att ge f i termer av ρ :

$f(Q)={{\sqrt {2}} \over 4\pi ^{2}}{d \over dQ}\int _{Q}^{0}{d\Phi \over {\ sqrt {\Phi -Q}}}{d\rho ^{'} \over d\Phi },\ \ \ \ \ \rho ^{'}(\Phi )=\left[1+r(\Phi ) ^{2}/r_{a}^{2}\right]\rho \left[r(\Phi )\right].$

Egenskaper

Efter en härledning liknande den ovan, uppfyller hastighetsdispersionerna i en Osipkov-Merritt-modell

${\sigma _{r}^{2} \over \sigma _{t}^{2}}=1+{r^{2} \over r_{a}^{2}}.$

Rörelserna är nästan radiella ( $\sigma _{r}\gg \sigma _{t}$ ) för $r\gg r_{a}$ och nästan isotropa ( $\sigma _{r}\approx \sigma _{t}$ ) för $r\ll r_{a}$ . Detta är en önskvärd egenskap, eftersom stjärnsystem som bildas via gravitationskollaps har isotropa kärnor och radiellt anisotropa höljen.

Om r _a tilldelas ett för litet värde kan f vara negativt för något Q . Detta är en konsekvens av det faktum att sfäriska massmodeller inte alltid kan reproduceras med rent radiella banor. Eftersom antalet stjärnor på en bana inte kan vara negativt, är värden på r _a som genererar negativa f :n opysiska. Detta resultat kan användas för att begränsa den maximala graden av anisotropi för sfäriska galaxmodeller.

I sin uppsats från 1985 definierade Merritt ytterligare två familjer av modeller ("Typ II") som har isotropa kärnor och tangentiellt anisotropa höljen. Båda familjerna antar

$f=f(EJ^{2}/2r_{a}^{2})$ .

I modeller av typ IIa blir banorna helt cirkulära vid r=r _a och förblir så vid alla större radier. I modeller av typ IIb banor _{rör sig} stjärnor bortom med olika excentriciteter, även om rörelsen alltid är cirkulär. I båda familjerna genomgår den tangentiella hastighetsspridningen ett hopp när r ökar förbi r _a .

CM Carollo et al. (1995) härleder många observerbara egenskaper hos Osipkov-Merritt-modeller av typ I.

Ansökningar

Typiska tillämpningar av Osipkov-Merritt-modeller inkluderar:

• Modellering av stjärnhopar , galaxer , mörk materia-halos och galaxhopar
• Konstruera anisotropa galaxmodeller för studier av dynamiska instabiliteter

Se även

• Stjärndynamik