Jeans' teorem

Inom astrofysik och statistisk mekanik säger Jeans sats , uppkallad efter James Jeans , att varje stationär lösning av den kollisionsfria Boltzmann-ekvationen beror på fasrummets koordinater endast genom integraler av rörelse i den givna potentialen, och omvänt är vilken funktion som helst av integralerna. en steady-state lösning.

Jeans teorem diskuteras oftast i samband med potentialer som kännetecknas av tre globala integraler. I sådana potentialer är alla banorna regelbundna, dvs icke- kaotiska ; Keplerpotentialen är ett exempel . I generiska potentialer respekterar vissa banor endast en eller två integraler och motsvarande rörelse är kaotisk. Jeans teorem kan generaliseras till sådana potentialer som följer:

Fas-rymddensiteten för ett stationärt stjärnsystem är konstant inom varje väl ansluten region.

En väl sammankopplad region är en som inte kan brytas upp i två ändliga regioner så att alla banor ligger, för all tid, i varken den ena eller den andra. Invarianta tori av regelbundna banor är sådana regioner, men så är de mer komplexa delarna av fasrymden förknippade med kaotiska banor. Integrerbarhet av rörelsen krävs därför inte för ett stabilt tillstånd.

Matematisk beskrivning

Betrakta den kollisionsfria Boltzmann-ekvationen för fördelningsfunktionen $f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t)$

${\frac {\partial f}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla f+{\ frac {1}{m}}\mathbf {F} \cdot \nabla _{v}f=0.$

Betrakta den lagrangska inställningen till partikelns rörelse, i vilket fall de nödvändiga ekvationerna är

${\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {v}$

${\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {\mathbf {F} }{m}}.$

Låt lösningarna av dessa ekvationer vara

$\mathbf {x} =\mathbf {x} (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{6},t)$

$\mathbf {v} =\mathbf {v} (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{6},t)$

där $\alpha _{i}$ s är integrationskonstanterna. Låt oss anta att vi från ovanstående uppsättning kan lösa ${\displaystyle \alpha _{i}} ,$ det vill säga vi kan hitta

$\alpha _{i}=\alpha _{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t).$

Betrakta nu en godtycklig funktion av $\alpha _{i}$ s,

$f=f(\alpha _{1},\dots,\alpha _{6}).$

Då är denna funktion lösningen av den kollisionsfria Boltzmann-ekvationen, vilket kan verifieras genom att ersätta denna funktion i den kollisionsfria Boltzmann-ekvationen för att hitta

$\sum _{i=1}^{6}{\frac {\partial f}{\partial \alpha _{i}}}\left[{\frac {\partial \alpha _{i} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \alpha _{i}+{\frac {1}{m}}\mathbf {F} \cdot \nabla _{v}\alpha _ {i}\right]=\summa _{i=1}^{6}{\frac {\partial f}{\partial \alpha _{i}}}{\frac {d\alpha _{i}} {dt}}=0.$

Detta bevisar satsen.

En trivial uppsättning integrationskonstanter är den initiala platsen $\mathbf {x} _{0}$ och initialhastigheterna $\mathbf {v} _{0}$ för partikeln. I det här fallet, vilken funktion som helst

$f=f(\mathbf {x} _{0}(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t),\mathbf {v} _{0}(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t))$

är en lösning av den kollisionsfria Boltzmann-ekvationen.

Se även

• Jeans ekvationer