Oscillationsteori

För annan användning, se Oscillationsteori (disambiguation) .

Inom matematiken , inom området vanliga differentialekvationer , en icke-trivial lösning på en vanlig differentialekvation

$F(x,y,y',\ \dots ,\ y^{ (n-1)})=y^{(n)}\quad x\in [0,+\infty )$

kallas oscillerande om den har ett oändligt antal rötter ; annars kallas det icke-oscillerande . Differentialekvationen kallas oscillerande om den har en oscillerande lösning. Antalet rötter ger också information om spektrumet av associerade gränsvärdeproblem .

Exempel

Differentialekvationen

$y''+y=0$

är oscillerande eftersom sin( x ) är en lösning.

Samband med spektralteori

Oscillationsteorin initierades av Jacques Charles François Sturm i hans undersökningar av Sturm–Liouville-problem från 1836. Där visade han att den n:te egenfunktionen hos ett Sturm–Liouville-problem har just n-1 rötter. För den endimensionella Schrödinger-ekvationen svarar frågan om oscillation/icke-oscillation på frågan om egenvärdena ackumuleras längst ner i det kontinuerliga spektrumet.

Relativ oscillationsteori

1996 visade Gesztesy – Simon – Teschl att antalet rötter av Wronski-determinanten för två egenfunktioner i ett Sturm-Liouville-problem ger antalet egenvärden mellan motsvarande egenvärden. Det generaliserades senare av Krüger-Teschl till fallet med två egenfunktioner av två olika Sturm-Liouville-problem. Undersökningen av antalet rötter av Wronski-determinanten av två lösningar är känd som relativ oscillationsteori.

Se även

Klassiska resultat inom oscillationsteorin är:

• Knesers sats (differentialekvationer)
• Sturm–Picones jämförelsesats
• Sturms separationssats

•   Atkinson, FV (1964). Diskreta och kontinuerliga gränsproblem . Akademisk press. ISBN 978-0-08-095516-2 .
•   Gesztesy, F.; Simon, B.; Teschl, G. (1996). "Nollor av Wronskian och renormaliserade oscillationsteorin" (PDF) . Am. J. Math . 118 (3): 571–594. doi : 10.1353/ajm.1996.0024 . S2CID 14430688 .
•   Kreith, K. (1973). Oscillationsteori . Föreläsningsanteckningar i matematik. Vol. 324. Springer. doi : 10.1007/BFb0067537 . ISBN 978-3-540-40005-9 .
•   Krüger, H.; Teschl, G. (2009). "Relativ oscillationsteori, viktade nollor av Wronskian och spektralskiftfunktionen". Commun. Matematik. Phys . 287 (2): 613–640. arXiv : math/0703574 . Bibcode : 2009CMaPh.287..613K . doi : 10.1007/s00220-008-0600-8 . S2CID 881636 .
•   Sturm, JCF (1836). "Memoire sur les equations diferentielles lineaires du second order". J. Math. Pures Appl . 1 : 106-186. doi : 10.1007/978-3-7643-7990-2_30 . ISBN 978-3-7643-7989-6 .
•   Swanson, CA (2016) [1968]. Jämförelse och oscillationsteori för linjära differentialekvationer . Elsevier. ISBN 978-1-4832-6667-1 .
•   Teschl, G. (2012). Vanliga differentialekvationer och dynamiska system . Providence : American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-8328-0 .
•   Weidmann, J. (1987). Spectral Theory of Ordinary Differential Operators . Föreläsningsanteckningar i matematik. Vol. 1258. Springer. doi : 10.1007/BFb0077960 . ISBN 978-3-540-47912-3 .