Optisk ekvivalenssats

Den optiska ekvivalenssatsen i kvantoptik hävdar en ekvivalens mellan förväntningsvärdet för en operator i Hilbertrymden och förväntningsvärdet för dess associerade funktion i fasrumsformuleringen med avseende på en kvasisannolikhetsfördelning . Teoremet rapporterades först av George Sudarshan 1963 för normalt ordnade operatörer och generaliserades senare samma årtionde till vilken beställning som helst.

Låt Ω vara en ordning av de icke-kommutativa skapande- och förintelseoperatorerna och låt $g_{\Omega }({\hat {a}},{\hat {a} }^{\dolk })$ vara en operator som kan uttryckas som en potensserie i skapande och annihilationsoperatorer som uppfyller beställningen Ω. Sedan uttrycks den optiska ekvivalenssatsen kortfattat som

$\langle g_{\Omega }({\hat {a}},{\hat {a}}^{\dolk })\rangle =\langle g_{\Omega }(\alpha ,\alpha ^{ *})\rangle .$

Här förstås α vara egenvärdet för annihilationsoperatorn i ett koherent tillstånd och ersätts formellt i potensserieexpansionen av g . Den vänstra sidan av ekvationen ovan är ett förväntansvärde i Hilbertrummet medan den högra sidan är ett förväntansvärde med avseende på kvasisannolikhetsfördelningen.

Vi kan skriva var och en av dessa uttryckligen för bättre tydlighet. Låt ${\hat {\rho }}$ vara densitetsoperatorn och ${\displaystyle {\bar {\Omega }}} vara den$ reciproka ordningen till Ω. Kvasisannolikhetsfördelningen associerad med Ω ges då, åtminstone formellt, av

${\hat {\rho }}={\frac {1}{\pi }}\int f_{\bar {\Omega }}(\alpha ,\alpha ^{*})|\alpha \rangle \langle \alpha |\,d^{2}\alpha .$

Ovan inramade ekvation blir

$\operatorname {tr} ({\hat {\rho }}\cdot g_{\Omega }({\hat {a}},{\hat {a}}^{\dolk }))=\int f_{\bar {\Omega }}(\alpha ,\alpha ^{*})g_{\Omega }(\alpha ,\alpha ^{*})\,d^{2}\alpha .$

Låt till exempel Ω vara normalordningen . Det betyder att g kan skrivas i en potensserie av följande form:

$g_{N}({\hat {a}}^{\dolk },{\hat {a}})=\summa _{n,m}c_{nm}{\hat {a}}^ {\dolk n}{\hat {a}}^{m}.$

Kvasisannolikhetsfördelningen associerad med normalordningen är Glauber-Sudarshan P-representationen . I dessa termer kommer vi fram till

$\operatorname {tr} ({\hat {\rho }}\cdot g_{N}({\hat {a}},{\hat {a}}^{\dolk }))=\int P (\alpha )g(\alpha ,\alpha ^{*})\,d^{2}\alpha .$

Denna sats antyder den formella ekvivalensen mellan förväntade värden för normalt ordnade operatorer i kvantoptik och motsvarande komplexa tal i klassisk optik.