Olech teorem

I dynamisk systemteori upprättar Olech -satsen tillräckliga villkor för global asymptotisk stabilitet av ett tvåekvationssystem av icke-linjära differentialekvationer . Resultatet etablerades av Czesław Olech 1963, baserat på samarbete med Philip Hartman .

Sats

Differentialekvationerna $\mathbf {\dot {x}} =f(\mathbf {x} )$ , ${\displaystyle \mathbf {x} =[x_{1}\,x_{2}]^{\mathsf {T}}\in \mathbb {R} ^{2}} ,$ där $f(\mathbf {x} )={\begin{bmatrix}f^{1}(\mathbf {x} )&f^{2}(\mathbf {x} )\end {bmatrix}}^{\mathsf {T}}$ , för vilken $\mathbf {x} ^{\ast }=\mathbf {0}$ är en jämviktspunkt , är enhetligt globalt asymptotiskt stabil om :

(a) spåret av den jakobiska matrisen är negativ, $\operatorname {tr} \mathbf {J} _{f}(\mathbf {x} )<0$ för alla $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{2}$ ,

(b) den jakobianska determinanten är positiv, $\left|\mathbf {J} _{f}(\mathbf {x} )\right|>0$ för alla $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{2}$ , och

(c) systemet är kopplat överallt med antingen

${\frac {\partial f^{1}}{\partial x_{1}}}{\frac {\partial f^{2}}{\partial x_{2}}}\neq 0,{ \text{ eller }}{\frac {\partial f^{1}}{\partial x_{2}}}{\frac {\partial f^{2}}{\partial x_{1}}}\neq 0{\text{ för alla }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{2}.$