Ojämlikhet mellan Babenko och Beckner

Inom matematiken är Babenko-Beckner-ojämlikheten (efter K. Ivan Babenko och William E. Beckner ) en skärpt form av Hausdorff-Young-ojämlikheten som har tillämpningar på osäkerhetsprinciper i Fourier-analysen av L ^p- rum . ( q , p )-normen för den n -dimensionella Fouriertransformen definieras som

$\|{\mathcal {F}}\|_{q,p}=\sup _{f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}{\frac {\|{\mathcal {F}} f\|_{q}}{\|f\|_{p}}},{\text{ där }}1<p\leq 2,{\text{ och }}{\frac {1}{p }}+{\frac {1}{q}}=1.$

År 1961 fann Babenko denna norm för jämna heltalsvärden på q . Slutligen, 1975, med hjälp av Hermite-funktioner som egenfunktioner för Fouriertransformen, bevisade Beckner att värdet av denna norm för alla $q\geq 2$ är

$\|{\mathcal {F}}\|_{q,p}=\left(p^{1/p}/q^{1/q}\right)^{n/2}.$

Således har vi Babenko-Beckner-ojämlikheten som

$\|{\mathcal {F}}f\|_{q}\leq \left(p^{1/p}/q^{1/q}\right)^{n/2}\| f\|_{p}.$

Att skriva ut detta explicit, (i fallet med en dimension,) om Fouriertransformen är normaliserad så att

$g(y)\ca. \int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi ixy}f(x)\,dx{\text{ och }}f(x)\approx \int _{\mathbb {R} }e ^{2\pi ixy}g(y)\,dy,$

då har vi

$\left(\int _{\mathbb {R}}|g(y)|^{q}\,dy\right)^{1/q}\leq \left(p^{1/p}/q^ {1/q}\right)^{1/2}\left(\int _{\mathbb {R}}|f(x)|^{p}\,dx\right)^{1/p}$

eller enklare

$\left({\sqrt {q}}\int _{\mathbb {R}}|g(y)|^{q}\,dy\right)^{1/q}\leq \left( {\sqrt {p}}\int _{\mathbb {R} }|f(x)|^{p}\,dx\right)^{1/p}.$

Huvudtankar om bevis

Genom hela denna skiss av ett bevis, låt

$1<p\leq 2,\quad {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1,\quad {\text{and}}\quad \omega = {\sqrt {1-p}}=i{\sqrt {p-1}}.$

(Förutom q kommer vi mer eller mindre att följa Beckners notation.)

Tvåpunktslemma

Låt $d\nu (x)$ vara det diskreta måttet med vikten $1/2$ vid punkterna $x=\pm 1.$ Sedan operatören

$C:a+bx\högerpil a+\omega bx$

mappar $L^{p}(d\nu )$ till $L^{q}(d\nu)$ med norm 1; det är,

$\left[\int |a+\omega bx|^{q}d\nu (x)\right]^{1/q}\leq \left[\ int |a+bx|^{p}d\nu (x)\right]^{1/p},$

eller mer uttryckligen,

$\left[{\frac {|a+\omega b|^{q}+|a-\omega b|^{q}}{2}}\right]^{1/ q}\leq \left[{\frac {|a+b|^{p}+|ab|^{p}}{2}}\right]^{1/p}$

för varje komplex a , b . (Se Beckners papper för bevis på hans "tvåpunktslemma".)

En sekvens av Bernoulli-rättegångar

Måttet $d\nu$ som introducerades ovan är faktiskt ett rättvist Bernoulli-försök med medelvärde 0 och varians 1. Betrakta summan av en sekvens av n sådana Bernoulli-försök, oberoende och normaliserade så att standardavvikelsen förblir 1 Vi erhåller måttet $d\nu _{n}(x)$ som är den n -faldiga faltningen av $d\nu ({\sqrt { n}}x)$ med sig själv. Nästa steg är att utöka operatorn C definierad på tvåpunktsutrymmet ovan till en operator definierad på ( n + 1)-punktsutrymmet för $d\nu _{n}(x )$ med avseende på de elementära symmetriska polynomen .

Konvergens till normal normalfördelning

Sekvensen $d\nu _{n}(x)$ konvergerar svagt till standard normal sannolikhetsfördelning ${\displaystyle d\mu (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}\,dx} med avseende på funktioner av polynomtillväxt$ . I limiten uttrycks förlängningen av operatorn C ovan i termer av de elementära symmetriska polynomen med avseende på måttet $d\nu _{n}(x)$ som en operator T i termer av hermitpolynomen med avseende på standardnormalfördelningen. Dessa hermitfunktioner är Fouriertransformens egenfunktioner, och Fouriertransformens ( q , p )-norm erhålls som ett resultat efter viss renormalisering.

Se även

• Entropisk osäkerhet