Nyströms metod

I matematik numerisk analys söker Nyströms metoden eller kvadraturmetoden den numeriska lösningen av en integralekvation genom att ersätta integralen med en representativ viktad summa. Det kontinuerliga problemet är uppdelat i $n$ diskreta intervall; kvadratur eller numerisk integration bestämmer vikten och placeringen av representativa punkter för integralen.

Problemet blir ett system av linjära ekvationer med $n$ ekvationer och $n$ okända, och den underliggande funktionen representeras implicit av en interpolation med den valda kvadraturregeln. Detta diskreta problem kan vara dåligt betingat, beroende på det ursprungliga problemet och den valda kvadraturregeln.

Eftersom de linjära ekvationerna kräver $O(n^{3})$ operationer för att lösa, presterar högordningens kvadraturregler bättre eftersom lågordningens kvadraturregler kräver stora $n$ för en given noggrannhet. Gaussisk kvadratur är normalt ett bra val för jämna, icke-singulära problem.

Diskretisering av integralen

Standardkvadraturmetoder försöker representera en integral som en vägd summa på följande sätt:

$\int _{a}^{b}h(x)\;\mathrm {d} x\approx \ summa _{k=1}^{n}w_{k}h(x_{k})$

där $w_{k}$ är vikterna för kvadraturregeln och punkterna $x_{k}$ är abskissorna.

Exempel

Att tillämpa detta på den inhomogena Fredholmsekvationen av det andra slaget

$f(x)=\lambda u(x)-\int _{a} ^{b}K(x,x')f(x')\;\mathrm {d} x'$ ,

resulterar i

$f(x)\approx \lambda u(x)-\summa _{ k=1}^{n}w_{k}K(x,x_{k})f(x_{k})$ .

Se även

• Gränselementmetod

Bibliografi

• Leonard M. Delves & Joan E. Walsh (red): Numerical Solution of Integral Equations , Clarendon, Oxford, 1974.
• Hans-Jürgen Reinhardt: Analys av approximationsmetoder för differential- och integralekvationer, Springer, New York, 1985.