Numerisk renormaliseringsgrupp

Den numeriska renormaliseringsgruppen ( NRG ) är en teknik som utvecklats av Kenneth Wilson för att lösa vissa många kroppsproblem där kvantorenhetsfysiken spelar en nyckelroll.

Historia

Den numeriska renormaliseringsgruppen är en i sig icke-störande procedur, som ursprungligen användes för att lösa Kondo-modellen . Kondo-modellen är en förenklad teoretisk modell som beskriver ett system av magnetiska spin-1/2- föroreningar som kopplas till metalliska ledningselektroner (t.ex. järnföroreningar i guld). Detta problem är notoriskt svårt att tackla teoretiskt, eftersom störande tekniker går sönder vid lågenergi. Wilson kunde dock för första gången bevisa med den numeriska renormaliseringsgruppen att grundtillståndet för Kondo-modellen är ett singletttillstånd. Men kanske ännu viktigare, begreppen renormalisering , fixpunkter och renormaliseringsgruppflöde introducerades till området för kondenserad materia - det var för detta som Wilson vann Nobelpriset 1982. Kondo-modellens fullständiga beteende, inklusive båda regimen för "lokalt moment" vid hög temperatur och regimen för "stark koppling" vid låg temperatur fångas upp av den numeriska renormaliseringsgruppen; en exponentiellt liten energiskala T _K (inte tillgänglig från rak störningsteori ) visade sig styra alla egenskaper vid låga energier, med alla fysiska observerbara egenskaper såsom resistivitet, termodynamik, dynamik etc. som uppvisar universell skalning. Detta är ett karakteristiskt drag för många problem inom den kondenserade materiens fysik, och är ett centralt tema för kvantföroreningsfysiken i synnerhet. I det ursprungliga exemplet av Kondo-modellen, är det lokala föroreningsmomentet helt avskärmat under TK _av ledningselektronerna via den berömda Kondo-effekten ; och en berömd konsekvens är att sådana material uppvisar ett resistivitetsminimum vid låga temperaturer, tvärtemot förväntningar baserade enbart på standardfononbidraget, där resistiviteten förutsägs minska monotont med temperaturen.

Själva existensen av lokala moment i verkliga system förutsätter naturligtvis starka elektron-elektronkorrelationer. Andersons orenhetsmodell beskriver en kvantnivå med en Coulomb-repulsion på plats mellan elektroner (snarare än ett spinn), som är tunnelkopplad till metalliska ledningselektroner. I den enskilt ockuperade regimen av orenheten kan man härleda Kondo-modellen från Anderson-modellen, men den senare innehåller annan fysik som är förknippad med laddningsfluktuationer. Den numeriska renormaliseringsgruppen utökades till att ta itu med Anderson-modellen (som därigenom fångar både Kondo-fysik och valensfluktuationsfysik) av HR Krishnamurthy et al. 1980. Sedan dess har olika viktiga utvecklingar gjorts: en omfattande modern översikt har sammanställts av Bulla et al.

Metod

Den numeriska renormaliseringsgruppen är en iterativ procedur, som är ett exempel på en renormaliseringsgruppsteknik .

Tekniken består i att först dela upp ledningsbandet i logaritmiska intervall (dvs intervall som blir mindre exponentiellt när man kommer närmare Fermi-energin). Ett ledningsbandstillstånd från varje intervall bibehålls, vilket är den totalt symmetriska kombinationen av alla tillstånd i det intervallet. Ledningsbandet har nu "logaritmiskt diskretiserats". Hamiltonian är nu i en position att omvandlas till så kallad linjär kedjeform, där föroreningen kopplas till endast ett ledningsbandstillstånd, vilket är kopplat till ett annat ledningsbandstillstånd och så vidare. Avgörande är att dessa kopplingar minskar exponentiellt längs kedjan, så att även om den transformerade Hamiltonian är för en oändlig kedja, kan man överväga en kedja med ändlig längd och ändå få användbara resultat.

Den enda begränsningen för ledningsbandet är att det inte interagerar. Den senaste utvecklingen gör det möjligt att kartlägga ett allmänt flerkanaligt ledningsband med kanalblandning till en Wilson-kedja, och här är implementeringen av python.

När Hamiltonian är i linjär kedja kan man börja den iterativa processen. Först övervägs den isolerade föroreningen, som kommer att ha någon karakteristisk uppsättning energinivåer. Man överväger då att lägga till den första ledningsbandsbanan till kedjan. Detta orsakar en splittring av energinivåerna för den isolerade föroreningen. Man överväger sedan effekten av att lägga till ytterligare orbitaler längs kedjan, vilket delar upp de hittills härledda energinivåerna ytterligare. Eftersom kopplingarna minskar längs kedjan, minskar de successiva splittringarna som orsakas av att orbitaler adderas till kedjan.

När ett visst antal orbitaler har lagts till kedjan har vi en uppsättning energinivåer för den ändliga kedjan. Detta är uppenbarligen inte den sanna uppsättningen av energinivåer för den oändliga kedjan, men det är en bra approximation till den sanna uppsättningen i temperaturområdet där: de ytterligare splittringar som orsakas av att lägga till fler orbitaler är försumbara, och vi har tillräckligt med orbitaler i kedjan för att ta hänsyn till sprickor som är relevanta i detta temperaturområde. Resultaten av detta är att resultaten som erhålls för en kedja av en viss längd endast är giltiga i ett visst temperaturområde, ett område som går till lägre temperaturer när kedjelängden ökar. Detta innebär att man genom att beakta resultaten vid många olika kedjelängder kan bygga upp en bild av systemets beteende över ett brett temperaturområde.

Hamiltonian för en linjär kedja av ändlig längd är ett exempel på en effektiv Hamiltonian. Det är inte den fullständiga Hamiltonian för det oändliga linjära kedjesystemet, men i ett visst temperaturområde ger den liknande resultat som den fullständiga Hamiltonian.