Normal varians-medelblandning

I sannolikhetsteori och statistik är en normal varians-medelblandning med blandande sannolikhetstäthet $g$ den kontinuerliga sannolikhetsfördelningen av en slumpvariabel $Y$ i formen

Y=\alpha +\beta V+\sigma {\sqrt {V}}X,

där $\alpha$ , $\beta$ och $\sigma >0$ är reella tal, och slumpvariablerna $X$ och $V$ är oberoende , $X$ är normalfördelad med medelvärde noll och varians ett, och $V$ är kontinuerligt fördelad på den positiva halvaxeln med sannolikhetstäthetsfunktion $g$ . Den villkorliga fördelningen av $Y$ givet $V$ är alltså en normalfördelning med medelvärde $\alpha +\beta V$ och varians $\sigma ^{ 2}V$ . En normal varians-medelblandning kan ses som fördelningen av en viss kvantitet i en inhomogen population bestående av många olika normalfördelade subpopulationer. Det är fördelningen av positionen för en wienerprocess (brownisk rörelse) med drift $\beta$ och infinitesimal varians $\sigma ^{2}$ observerad vid en slumpmässig tidpunkt oberoende av Wienerprocessen och med sannolikhetstäthetsfunktion $g$ . Ett viktigt exempel på normala varians-medelblandningar är den generaliserade hyperboliska fördelningen där blandningsfördelningen är den generaliserade inversa gaussiska fördelningen .

Sannolikhetstäthetsfunktionen för en normal varians-medelblandning med blandande sannolikhetstäthet $g$ är

f(x)=\int _{0 }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}v}}}\exp \left({\frac {-(x-\alpha -\beta v)^ {2}}{2\sigma ^{2}v}}\right)g(v)\,dv

och dess momentgenererande funktion är

M(s)=\exp(\alpha s)\,M_{g}\left(\ beta s+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}s^{2}\right),

där $M_{g}$ är den momentgenererande funktionen av sannolikhetsfördelningen med densitetsfunktionen $g$ , dvs.

M_{g}(s)=E\left(\exp(sV)\right)=\int _{0}^{\infty }\exp(sv)g(v)\,dv.

Se även

OE Barndorff-Nielsen , J. Kent och M. Sørensen (1982): "Normal varians-medelblandningar och z-fördelningar", International Statistical Review , 50, 145–159.