Nivens sats

Inom matematiken säger Nivens sats , uppkallad efter Ivan Niven , att de enda rationella värdena för θ i intervallet 0° ≤ θ ≤ 90° för vilket sinus för θ grader också är ett rationellt tal är:

${\begin{aligned}\sin 0^{\circ }&=0,\\[10pt]\sin 30^ {\circ }&={\frac {1}{2}},\\[10pt]\sin 90^{\circ }&=1.\end{aligned}}$

I radianer skulle man kräva att 0 ≤ x ≤ π /2, att x / π är rationell och att sin x är rationell. Slutsatsen är då att de enda sådana värdena är sin 0 = 0, sin π /6 = 1/2 och sin π /2 = 1.

Satsen visas som följd 3.12 i Nivens bok om irrationella tal .

Satsen sträcker sig till de andra trigonometriska funktionerna också. För rationella värden på θ är de enda rationella värdena för sinus eller cosinus 0, ±1/2 och ±1; de enda rationella värdena för sekanten eller cosekanten är ±1 och ±2; och de enda rationella värdena för tangenten eller kotangensen är 0 och ±1.

Se även

• Pythagoras trippel bildar räta trianglar där de trigonometriska funktionerna alltid kommer att ha rationella värden, även om de spetsiga vinklarna inte är rationella
• Trigonometriska funktioner
• Trigonometriskt tal

Vidare läsning

•   Olmsted, JMH (1945). "Rationella värden för trigonometriska funktioner". American Mathematical Monthly . 52 (9): 507–508. JSTOR 2304540 .
•   Lehmer, Derik H. (1933). "En anteckning om trigonometriska algebraiska tal". American Mathematical Monthly . 40 (3): 165–166. doi : 10.2307/2301023 . JSTOR 2301023 .
• Jahnel, Jörg (2010). "När är (co)sinus för en rationell vinkel lika med ett rationellt tal?". arXiv : 1006.2938 [ math.HO ].

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Nivens sats" . MathWorld .
• Nivens teorem på ProofWiki