Nettos teorem

De tre första stegen i konstruktionen av Hilbert-kurvan , en rymdfyllande kurva som enligt Nettos sats har många självskärningar

En Osgood-kurva , utan självkorsningar. Enligt Nettos teorem är det omöjligt för en sådan kurva att helt täcka någon konvex delmängd av planet.

I matematisk analys säger Nettos sats att kontinuerliga bijektioner av släta grenrör bevarar dimensionen . Det vill säga att det inte existerar en kontinuerlig bijektion mellan två släta grenrör av olika dimension. Den är uppkallad efter Eugen Netto .

Fallet för kartor från ett högre dimensionellt grenrör till ett endimensionellt grenrör bevisades av Jacob Lüroth 1878, med hjälp av mellanvärdessatsen för att visa att inget grenrör som innehåller en topologisk cirkel kan kartläggas kontinuerligt och bijectively till den verkliga linjen . Både Netto 1878 och Georg Cantor 1879 gav felaktiga bevis för den allmänna satsen. Felen upptäcktes senare och åtgärdades.

Ett viktigt specialfall av denna sats gäller att det inte finns kontinuerliga bijektioner från endimensionella utrymmen, såsom den verkliga linjen eller enhetsintervallet , till tvådimensionella utrymmen, såsom det euklidiska planet eller enhetskvadrat . Villkoren för satsen kan avslappnas på olika sätt för att få intressanta klasser av funktioner från endimensionella utrymmen till tvådimensionella utrymmen:

• Rymdfyllande kurvor är surjektiva kontinuerliga funktioner från endimensionella rum till tvådimensionella rum. De täcker varje punkt på planet, eller av en enhetskvadrat, med bilden av en linje eller enhetsintervall. Exempel inkluderar Peano-kurvan och Hilbert-kurvan . Inget av dessa exempel har några självkorsningar, men enligt Nettos teorem finns det många punkter på kvadraten som täcks flera gånger av dessa kurvor.
• Osgood-kurvor är kontinuerliga bijektioner från endimensionella utrymmen till delmängder av planet som har en area som inte är noll . De bildar Jordan-kurvor i planet. Men enligt Nettos teorem kan de inte täcka hela planet, enhetskvadrat eller någon annan konvex uppsättning .
• Om man slappnar av kravet på kontinuitet, så har alla släta grenrör av begränsad dimension lika kardinalitet , kontinuumets kardinalitet . Därför finns det diskontinuerliga bijektioner mellan två av dem, som Georg Cantor visade 1878. Cantors resultat kom som en överraskning för många matematiker och startade forskningen som ledde till rymdfyllande kurvor, Osgood-kurvor och Nettos teorem. En nära-bijektion från enhetskvadraten till enhetsintervallet kan erhållas genom att interfoliera siffrorna i decimalrepresentationerna av de kartesiska koordinaterna för punkter i kvadraten. Decimalernas oklarheter, exemplifierade av de två decimalrepresentationerna 1 = 0,999... , gör att detta är en injektion snarare än en bijektion, men detta problem kan repareras genom att använda Schröder–Bernstein-satsen .