Motsvarigheter till valets axiom
Equivalents of the Axiom of Choice är en bok i matematik, som samlar påståenden i matematik som är sanna om och bara om valets axiom håller . Den skrevs av Herman Rubin och Jean E. Rubin och publicerades 1963 av North-Holland som volym 34 av deras Studies in Logic and the Foundations of Mathematics-serien. En uppdaterad utgåva, Equivalents of the Axiom of Choice, II , publicerades som volym 116 av samma serie 1985.
Ämnen
Vid tidpunkten för bokens ursprungliga publicering var det okänt om valets axiom följde från de andra axiomen i Zermelo–Fraenkels mängdteorin (ZF), eller var oberoende av dem, även om det var känt att det var förenligt med dem från verket av Kurt Gödel . Denna bok kodifierade projektet att klassificera matematikens teorem enligt om valets axiom var nödvändigt i deras bevis, eller om de kunde bevisas utan det. Ungefär samtidigt som bokens publicering Paul Cohen att negationen av valets axiom också är konsekvent, vilket antyder att valets axiom, och alla dess motsvarande uttalanden i denna bok, verkligen är oberoende av ZF.
Den första upplagan av boken innehåller över 150 påståenden i matematik som är likvärdiga med valets axiom, inklusive några som är nya för boken. Den här utgåvan är uppdelad i två delar, den första involverar begrepp som uttrycks med set och den andra involverar klasser istället för set. Inom den första delen är ämnena grupperade i påståenden relaterade till den välordnade principen , själva valets axiom, trikotomi (förmågan att jämföra kardinaltal ), och Zorns lemma och relaterade maximalitetsprinciper . Det här avsnittet innehåller också ytterligare tre kapitel, om påståenden i abstrakt algebra , påståenden för kardinaltal och en sista samling av diverse påståenden. Det andra avsnittet har fyra kapitel, om ämnen parallella med fyra av det första avsnittets kapitel.
0 Boken innehåller historien om varje påstående och många bevis på deras likvärdighet. Snarare än ZF använder den Von Neumann–Bernays–Gödel mängdteori för sina bevis, huvudsakligen i en form som kallas NBG som tillåter urelement (i motsats till axiom extensionality) och som inte heller inkluderar regelbundet axiom .
Den andra utgåvan lägger till många ytterligare likvärdiga påståenden, mer än dubbelt så många som den första utgåvan, med en extra lista på över 80 påståenden som är relaterade till valets axiom men som inte är kända för att vara likvärdiga med det. Den innehåller två tillagda sektioner, en om likvärdiga påståenden som behöver axiomen för extensionalitet och regelbundenhet i sina bevis på likvärdighet, och en annan om påståenden i topologi , matematisk analys och matematisk logik . Den innehåller också nyare utvecklingar om valets oberoende och en förbättrad redogörelse för Zorns lemmas historia.
Publik och mottagning
Den här boken är skriven som en referens för professionella matematiker, särskilt de som arbetar med mängdlära . Granskaren Chen Chung Chang skriver att det "kommer att vara användbart både för specialisten på området och för den allmänt arbetande matematikern", och att dess presentation av resultaten är "tydlig och klar". Vid tiden för den andra upplagan kallade recensenterna JM Plotkin och David Pincus båda detta "standardreferens" på detta område.