Monte Carlo metod i statistisk fysik

Monte Carlo i statistisk fysik hänvisar till tillämpningen av Monte Carlo-metoden på problem inom statistisk fysik , eller statistisk mekanik .

Översikt

Den allmänna motiveringen att använda Monte Carlo-metoden i statistisk fysik är att utvärdera en multivariabel integral. Det typiska problemet börjar med ett system som Hamiltonian är känd för, det är vid en given temperatur och det följer Boltzmann-statistiken . För att erhålla medelvärdet för någon makroskopisk variabel, säg A, är det allmänna tillvägagångssättet att beräkna, över hela fasutrymmet, PS för enkelhets skull, medelvärdet för A med hjälp av Boltzmann-fördelningen:

\langle A\rangle =\int _{PS}A_{\vec {r}}{\frac {e^{ -\beta E_{\vec {r}}}}{Z}}d{\vec {r}}

.

där $E({\vec {r}})=E_{\vec {r}}$ är energin i systemet för ett givet tillstånd definierat av ${\vec {r}}$ - en vektor med alla frihetsgrader (till exempel för ett mekaniskt system, ${\displaystyle {\vec {r}}=\left( {\vec {q}},{\vec {p}}\right)} ),$ β $\displaystyle \beta \equiv 1/k_{b}T}$ och

Z=\int _{PS}e^{-\beta E_{\vec {r}}}d{\vec {r}}

är partitionsfunktionen .

Ett möjligt tillvägagångssätt för att lösa denna multivariabla integral är att exakt räkna upp alla möjliga konfigurationer av systemet och beräkna medelvärden efter behag. Detta görs i exakt lösbara system, och i simuleringar av enkla system med få partiklar. I realistiska system kan å andra sidan en exakt uppräkning vara svår eller omöjlig att genomföra.

För dessa system används vanligtvis Monte Carlo-integrationen (och inte att förväxla med Monte Carlo-metoden, som används för att simulera molekylkedjor). Huvudmotivet för dess användning är det faktum att, med Monte Carlo-integrationen, blir felet ${\displaystyle 1/{\sqrt {N}}} ,$ oberoende av integralens dimension. Ett annat viktigt koncept relaterat till Monte Carlo-integrationen är betydelsen sampling , en teknik som förbättrar beräkningstiden för simuleringen.

I följande avsnitt diskuteras den allmänna implementeringen av Monte Carlo-integrationen för att lösa denna typ av problem.

Viktighetsprovtagning

En uppskattning, under Monte Carlo-integration, av en integral definierad som

\langle A\rangle =\int _{PS}A_{\vec {r}}e^{-\beta E_{\vec {r}}}d{\vec {r}}/Z

är

\langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\summa _{i= 1}^{N}A_{{\vec {r}}_{i}}e^{-\beta E_{{\vec {r}}_{i}}}/Z

där ${\vec {r}}_{i}$ erhålls enhetligt från hela fasutrymmet (PS) och N är antalet samplingspunkter (eller funktionsutvärderingar).

Från hela fasutrymmet är vissa zoner i det generellt viktigare för medelvärdet av variabeln $A$ än andra. I synnerhet de som har värdet $e^{-\beta E_{{\vec {r}}_{i}}}$ tillräckligt högt jämfört med resten av energispektra är de mest relevanta för integralen. Med hjälp av detta faktum är den naturliga frågan att ställa: är det möjligt att med högre frekvens välja de tillstånd som är kända för att vara mer relevanta för integralen? Svaret är ja, med hjälp av viktighetsprovtagningstekniken .

Låt oss anta att $p({\vec {r}})$ är en fördelning som väljer de tillstånd som är kända för att vara mer relevanta för integralen.

Medelvärdet för $A$ kan skrivas om som

\langle A\rangle =\int _{PS}p^{-1}({\vec {r}}){\frac {A_{\vec { r}}}{p^{-1}({\vec {r}})}}e^{-\beta E_{\vec {r}}}/Zd{\vec {r}}=\int _ {PS}p^{-1}({\vec {r}})A_{\vec {r}}^{*}e^{-\beta E_{\vec {r}}}/Zd{\vec {r}}

,

där $A_{\vec {r}}^{*}$ är de samplade värdena som tar hänsyn till viktsannolikheten $p({\vec {r}})$ . Denna integral kan uppskattas av

\langle A\rangle \simeq {\frac {1}{ N}}\summa _{i=1}^{N}p^{-1}({\vec {r}}_{i})A_{{\vec {r}}_{i}}^{ *}e^{-\beta E_{{\vec {r}}_{i}}}/Z

där ${\vec {r}}_{i}$ genereras nu slumpmässigt med fördelningen ${\displaystyle p({\vec {r}})}.$ Eftersom det oftast inte är lätt att hitta ett sätt att generera tillstånd med en given fördelning måste Metropolis-algoritmen användas.

Kanonisk

Eftersom det är känt att de mest sannolika tillstånden är de som maximerar Boltzmann-fördelningen, är en bra fördelning, $p({\vec {r}})$ , att välja för viktighetsurvalet Boltzmann distribution eller kanonfördelning. Låta

p({\vec {r}})={\frac {e^{-\beta E_{\vec {r}}}}{Z} }

vara distributionen att använda. Ersätter med föregående summa,

\langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\summa _{i=1}^{N}A_{ {\vec {r}}_{i}}^{*}

.

Så, proceduren för att erhålla ett medelvärde för en given variabel, med hjälp av metropolalgoritm, med den kanoniska fördelningen, är att använda Metropolis-algoritmen för att generera tillstånd som ges av fördelningen p ( r → ) {\ $vec { r}})}$ och utför medel över $A_{\vec {r}}^{*}$ .

En viktig fråga måste beaktas när man använder metropolalgoritmen med den kanoniska fördelningen: när man utför en given åtgärd, dvs realisering av ${\vec {r}}_{i}$ , måste man säkerställa att den realiseringen är inte korrelerad med det tidigare tillståndet i systemet (annars genereras inte tillstånden "slumpmässigt"). På system med relevanta energigap är detta den stora nackdelen med användningen av den kanoniska fördelningen eftersom tiden som krävs för att systemet avkorrelerar från det tidigare tillståndet kan tendera till oändlighet.

Multikanonisk

Som nämnts tidigare har mikrokanoniskt tillvägagångssätt en stor nackdel, vilket blir relevant i de flesta av de system som använder Monte Carlo-integration. För de system med "grova energilandskap" kan den multikanoniska metoden användas.

Det multikanoniska tillvägagångssättet använder ett annat val för viktighetssampling:

p({\vec {r}})={\frac {1}{\Omega (E_{\vec {r}})}}

där $\Omega (E)$ är tätheten av systemets tillstånd . Den stora fördelen med detta val är att energihistogrammet är platt, dvs de genererade tillstånden är jämnt fördelade på energi. Detta innebär att när man använder Metropolis-algoritmen ser simuleringen inte det "grova energilandskapet", eftersom varje energi behandlas lika.

Den stora nackdelen med detta val är det faktum att på de flesta system är $\Omega (E)$ okänd. För att övervinna detta Wang och Landau-algoritmen för att erhålla DOS under simuleringen. Observera att efter att DOS är känd kan medelvärdena för varje variabel beräknas för varje temperatur, eftersom genereringen av tillstånd inte beror på $\beta$ .

Genomförande

På detta avsnitt kommer implementeringen att fokusera på Ising-modellen . Låt oss överväga ett tvådimensionellt spinnnätverk, med L-spinn (gitterplatser) på varje sida. Det finns naturligt $N=L^{2}$ snurr, så fasutrymmet är diskret och kännetecknas av N snurr, ${\vec {r}}=(\sigma _{1},\sigma _{2},...,\sigma _{N})$ där $\sigma _{i}\in \{-1,1\}$ är spinn för varje gitterplats. Systemets energi ges av ${\displaystyle E({\vec {r}})=\ summa _{i=1}^{N}\summa _{j\in viz_{i}}(1-J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j})} ,$ där $viz_{i}$ är uppsättningen av första grannskapssnurr av i och J är interaktionsmatrisen (för en ferromagnetisk modell är J identitetsmatrisen). Problemet anges.

I det här exemplet är målet att erhålla $\langle M\rangle$ och $\langle M^{2}\rangle$ (till exempel för att erhålla den magnetiska susceptibiliteten för system) eftersom det är enkelt att generalisera till andra observerbara. Enligt definitionen är $M({\vec {r}})=\summa _{i=1}^{N}\sigma _{i}$ .

Kanonisk

Först måste systemet initieras: låt $\beta =1/k_{b}T$ vara systemets Boltzmann-temperatur och initiera systemet med ett initialtillstånd (vilket kan vara vad som helst eftersom slutresultatet bör inte bero på det).

Med mikrokanoniskt val måste metropolmetoden användas. Eftersom det inte finns något rätt sätt att välja vilket tillstånd som ska väljas, kan man specificera och välja att försöka vända ett snurr åt gången. Detta val brukar kallas single spin flip . Följande steg ska göras för att utföra en enda mätning.

steg 1: generera ett tillstånd som följer fördelningen ${\displaystyle p({\vec {r}})}:$

steg 1.1: Utför TT gånger följande iteration:

steg 1.1.1: välj en gitterplats slumpmässigt (med sannolikhet 1/N), som kommer att kallas i, med spin $\sigma _{i}$ .

steg 1.1.2: välj ett slumpmässigt tal $\alpha \in [0,1]$ .

steg 1.1.3: beräkna energiförändringen för att försöka vända spinn i:

\Delta E=2\sigma _{i}\summa _{j\in viz_{i}}\sigma _{j}

och dess magnetiseringsändring: $\Delta M=-2\sigma _{i}$

steg 1.1.4: om ${\displaystyle \alpha <\min(1,e^{-\beta \Delta E})} ,$ vänd snurret ( $\sigma _{i}=-\sigma _{i}$ ), annars gör det inte.

steg 1.1.5: uppdatera de flera makroskopiska variablerna om snurran vänds: $E=E+\Delta E$ , $M=M+\Delta M$

efter TT-tider anses systemet inte vara korrelerat från dess tidigare tillstånd, vilket innebär att sannolikheten för att systemet i detta ögonblick är i ett givet tillstånd följer Boltzmann-fördelningen, vilket är målet som föreslås med denna metod.

steg 2: utför mätningen:

steg 2.1: spara, på ett histogram, värdena för M och M ² .

Som en sista anmärkning bör man notera att TT inte är lätt att uppskatta eftersom det inte är lätt att säga när systemet är avkorrelerat från det tidigare tillståndet. För att överträffa denna punkt använder man i allmänhet inte en fast TT, utan TT som en tunnlingstid . En tunnlingstid definieras som antalet steg 1. systemet behöver göra för att gå från minimum av sin energi till maximum av sin energi och återvända.

En stor nackdel med denna metod med valet av ensnurrvridning i system som Ising-modellen är att tunneltidsskalorna som en effektlag som $N^{2+z}$ där z är större än 0,5, fenomen som kallas kritisk avmattning .

Tillämplighet

Metoden försummar alltså dynamiken, vilket kan vara en stor nackdel, eller en stor fördel. Metoden kan faktiskt bara tillämpas på statiska storheter, men friheten att välja drag gör metoden mycket flexibel. En ytterligare fördel är att vissa system, såsom Ising-modellen , saknar en dynamisk beskrivning och endast definieras av ett energirecept; för dessa är Monte Carlo-metoden den enda möjliga.

Generaliseringar

Den stora framgången för denna metod inom statistisk mekanik har lett till olika generaliseringar såsom metoden för simulerad glödgning för optimering, där en fiktiv temperatur introduceras och sedan gradvis sänks.

Se även

Allen, MP & Tildesley, DJ (1987). Datorsimulering av vätskor . Oxford University Press. ISBN 0-19-855645-4 .
Frenkel, D. & Smit, B. (2001). Förstå molekylär simulering . Akademisk press. ISBN 0-12-267351-4 .
Binder, K. & Heermann, DW (2002). Monte Carlo-simulering i statistisk fysik. An Introduction (4:e upplagan). Springer. ISBN 3-540-43221-3 .
Spanier, Jerome; Gelbard, Ely M. (2008). "Viktighetsprovtagning". Monte Carlo-principer och problem med neutrontransport . Dover. s. 110–124. ISBN 978-0-486-46293-6 .