Miracle Octad Generator
Inom matematik är Miracle Octad Generator , eller MOG , ett matematiskt verktyg som introducerats av Rob T. Curtis för att manipulera Mathieu-grupperna , binär Golay-kod och Leech-gitter .
Beskrivning
Miracle Octad Generator är en 4x6-array av kombinationer som beskriver vilken punkt som helst i det 24-dimensionella rymden. Den bevarar alla symmetrier och maximala undergrupper i Mathieu-gruppen M 24 , nämligen monadgruppen, duadgruppen, triadgruppen, oktadgruppen, okterngruppen, sextettgruppen, triogruppen och duumgruppen. Den kan därför användas för att studera alla dessa symmetrier.
Golay kod
En annan användning för Miracle Octad Generator är att snabbt verifiera kodord för den binära Golay-koden . Varje element i Miracle Octad Generator kan lagra antingen en '1' eller en '0', vanligtvis visas som en asterisk respektive tomrum. Varje kolumn och den översta raden har en egenskap som kallas count , vilket är antalet asterisker på den specifika raden. Ett av kriterierna för att en uppsättning av 24 koordinater ska vara ett kodord i den binära Golay-koden är att alla sju räkningarna ska vara av samma paritet . Den andra begränsningen är att poängen för varje kolumn bildar ett ord i hexakoden . Poängen för en kolumn kan vara antingen 0, 1, ω eller ω-stapel, beroende på dess innehåll. Poängen för en kolumn utvärderas enligt följande regler:
- Om en kolumn innehåller exakt en asterisk har den poängen 0 om den finns på den översta raden, 1 om den är på den andra raden, ω för den tredje raden och ω-stapel för den nedre raden.
- Att samtidigt komplettera varje bit i en kolumn påverkar inte dess poäng.
- Att komplettera biten i den översta raden påverkar inte heller dess poäng.
Ett kodord kan härledas från bara dess översta rad och poäng, vilket bevisar att det finns exakt 4096 kodord i den binära Golay-koden.
MiniMOG
John Horton Conway utvecklade en 4 × 3 array känd som MiniMOG . MiniMOG tillhandahåller samma funktion för Mathieu-gruppen M 12 och den ternära Golay-koden som Miracle Octad Generator gör för M 24 respektive binär Golay-kod. Istället för att använda en kvartär hexakod använder MiniMOG en ternär tetrakod.
Anteckningar
- Conway, John Horton ; Sloane, Neil JA (1999), Sphere Packings, Lattices and Groups , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 290 (3:e upplagan), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98585-5 , MR 0920369
- Curtis, RT (1976), "A new combinatorial approach to M 24 ", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 79 ( 1 ): 25–42, doi : 10.1017 / S0305004100052075 , ISSN 04105-9205-72