Minst trimmade rutor

Minst trimmade kvadrater ( LTS ), eller minst trimmade kvadratsumma , är en robust statistisk metod som anpassar en funktion till en datauppsättning samtidigt som den inte påverkas i onödan av förekomsten av extremvärden . Det är en av ett antal metoder för robust regression .

Beskrivning av metod

Istället för standardmetoden för minsta kvadrater , som minimerar summan av kvadratiska residualer över n punkter, försöker LTS-metoden att minimera summan av kvadratiska residualer över en delmängd, ${\displaystyle k} ,$ av dessa punkter. De oanvända $nk$ punkterna påverkar inte passningen.

I ett standardproblem med minsta kvadrater definieras de uppskattade parametervärdena β till att vara de värden som minimerar den objektiva funktionen S (β) för kvadratiska residualer:

$S=\sum _{i=1}^{n}r_{i}(\beta )^{2},$

där residualerna definieras som skillnaderna mellan värdena för de beroende variablerna (observationer) och modellvärdena:

$r_{i}(\beta )=y_{i}-f(x_{i},\beta ),$

och där n är det totala antalet datapunkter. För en minst trimmad kvadratanalys ersätts denna objektiva funktion med en konstruerad på följande sätt. För ett fast värde på β, låt $r_{(j)}(\beta )$ beteckna uppsättningen av ordnade absolutvärden för residualerna (i stigande ordning av absolut värde). I denna notation är standardsumman av kvadratfunktion

$S(\beta )=\sum _{j=1}^{n}r_{(j)}(\beta ) ^{2},$

medan objektivfunktionen för LTS är

$S_{k}(\beta )=\sum _{j=1}^{k}r_{(j)}(\beta )^{2}.$

Beräkningsmässiga överväganden

Eftersom denna metod är binär, genom att punkter antingen inkluderas eller exkluderas, finns ingen lösning i sluten form. Som ett resultat sållar metoder för att hitta LTS-lösningen genom kombinationer av data och försöker hitta den k delmängd som ger den lägsta summan av kvadrerade residualer. Det finns metoder för lågt n som kommer att hitta den exakta lösningen; Men när n stiger, växer antalet kombinationer snabbt, vilket ger metoder som försöker hitta ungefärliga (men generellt tillräckliga) lösningar.

•   Rousseeuw, PJ (1984). "Minst median för kvadratregression". Journal of the American Statistical Association . 79 (388): 871–880. doi : 10.1080/01621459.1984.10477105 . JSTOR 2288718 .
•   Rousseeuw, PJ; Leroy, AM (2005) [1987]. Robust regression och avvikande upptäckt . Wiley. doi : 10.1002/0471725382 . ISBN 978-0-471-85233-9 .
• Li, LM (2005). "En algoritm för att beräkna exakt minst trimmade kvadraters uppskattning av enkel linjär regression med begränsningar". Beräkningsstatistik & dataanalys . 48 (4): 717–734. doi : 10.1016/j.csda.2004.04.003 .
• Atkinson, AC; Cheng, T.-C. (1999). "Beräkning av minst trimmade kvadraters regression med framåtsökning". Statistik och beräkningar . 9 (4): 251–263. doi : 10.1023/A:1008942604045 .
• Jung, Kang-Mo (2007). "Minst trimmade kvadrater i modellen för fel-i-variabler". Journal of Applied Statistics . 34 (3): 331–338. doi : 10.1080/02664760601004973 .