Mingarelli identitet

Inom området vanliga differentialekvationer är Mingarelli -identiteten ett teorem som tillhandahåller kriterier för svängning och icke-svängning av lösningar av några linjära differentialekvationer i den verkliga domänen. Den utökar Picone-identiteten från två till tre eller fler differentialekvationer av andra ordningen.

Identiteten

Betrakta de n lösningarna av följande (okopplade) system av andra ordningens linjära differentialekvationer över t –intervallet [ a , b ] :

$(p_{i}(t)x_ {i}^{\prime })^{\prime }+q_{i}(t)x_{i}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_ {i}(a)=1,\,\,x_{i}^{\prime }(a)=R_{i}$ där $i=1,2, \ldots ,n$ .

Låt $\Delta$ beteckna framåtdifferensoperatorn, dvs

$\Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i}.$

Andra ordningens skillnadsoperator hittas genom att iterera första ordningens operator som i

$\Delta ^{2}(x_{i})=\Delta (\Delta x_ {i})=x_{i+2}-2x_{i+1}+x_{i},$ ,

med en liknande definition för de högre iteraten. Om man för enkelhetens skull utelämnar den oberoende variabeln t , och antar att x _i ( t ) ≠ 0 på ( a , b ] , håller identiteten,

${\begin{aligned}x_{n-1}^{2}\Delta ^{n-1}(p_{1}r_{1})]_{a}^{ b}&=\int _{a}^{b}(x_{n-1}^{\prime })^{2}\Delta ^{n-1}(p_{1})-\int _{ a}^{b}x_{n-1}^{2}\Delta ^{n-1}(q_{1})-\summa _{k=0}^{n-1}C(n-1 ,k)(-1)^{nk-1}\int _{a}^{b}p_{k+1}W^{2}(x_{k+1},x_{n-1})/ x_{k+1}^{2},\end{aligned}}$

var

• $r_{i}=x_{i}^{\prime }/x_{i}$ är den logaritmiska derivatan ,
• $W(x_{i},x_{j})=x_{i}^{\prime }x_{j}- x_{i}x_{j}^{\prime }$ , är den Wronskianska determinanten ,
• $C(n-1,k)$ är binomialkoefficienter .

När n = 2 reduceras denna likhet till Picone-identiteten .

En ansökan

Ovanstående identitet leder snabbt till följande jämförelsesats för tre linjära differentialekvationer, som utökar den klassiska Sturm-Picones jämförelsesats .

Låt p _i , q _i i = 1, 2, 3 , vara reellt värderade kontinuerliga funktioner på intervallet [ a , b ] och låt

1. $(p_{1}(t)x_ {1}^{\prime })^{\prime }+q_{1}(t)x_{1}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_ {1}(a)=1,\,\,x_{1}^{\prime }(a)=R_{1}$
2. $(p_{2}(t)x_ {2}^{\prime })^{\prime }+q_{2}(t)x_{2}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_ {2}(a)=1,\,\,x_{2}^{\prime }(a)=R_{2}$
3. $(p_{3}(t)x_ {3}^{\prime })^{\prime }+q_{3}(t)x_{3}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_ {3}(a)=1,\,\,x_{3}^{\prime }(a)=R_{3}$

vara tre homogena linjära andra ordningens differentialekvationer i självadjoint form , där

• p _i ( t ) > 0 för varje i och för alla t i [ a , b ] , och
• R . _i är godtyckliga reella tal

Antag att vi för alla t i [ a , b ] har,

$\Delta ^{2}(q_{1})\geq 0$ ,

$\Delta ^{2}(p_{1})\ leq 0$ ,

$\Delta ^{2}(p_{1}(a)R_{1})\leq 0$ .

Sedan, om x ₁ ( t ) > 0 på [ a , b ] och x ₂ ( b ) = 0 , så har varje lösning x ₃ ( t ) minst en nolla i [ a , b ] .

Anteckningar

•   Clark DN; G. Pecelli & R. Sacksteder (1981). Bidrag till analys och geometri . Baltimore, USA: Johns Hopkins University Press. s. ix+357. ISBN 0-80182-779-5 .
• Mingarelli, Angelo B. (1979). "Några förlängningar av Sturm-Picones sats". Comptes Rendus Mathématique . Toronto, Ontario, Kanada: The Royal Society of Canada. 1 (4): 223–226.