Min-entropi

Min -entropin , i informationsteorin , är den minsta av Rényi-familjen av entropier, vilket motsvarar det mest konservativa sättet att mäta oförutsägbarheten hos en uppsättning utfall, som den negativa logaritmen för sannolikheten för det mest sannolika utfallet. De olika Rényi-entropierna är alla lika för en enhetlig fördelning, men mäter oförutsägbarheten hos en olikformig fördelning på olika sätt. Min-entropin är aldrig större än den vanliga eller Shannon-entropin (som mäter den genomsnittliga oförutsägbarheten av utfallen) och den är i sin tur aldrig större än Hartley- eller max-entropin , definierad som logaritmen av antalet utfall med en sannolikhet som inte är noll .

Som med den klassiska Shannon-entropin och dess kvantgeneralisering, von Neumann-entropin , kan man definiera en villkorlig version av min-entropin. Den villkorliga kvantminentropin är en engångs- eller konservativ analog av villkorlig kvantentropi .

För att tolka ett villkorligt informationsmått, antag att Alice och Bob skulle dela ett tvådelat kvanttillstånd $\rho _{AB}$ . Alice har tillgång till system $A$ och Bob till system $B$ . Den villkorliga entropin mäter den genomsnittliga osäkerheten Bob har om Alices tillstånd vid provtagning från sitt eget system. Min-entropin kan tolkas som avståndet för ett tillstånd från ett maximalt intrasslat tillstånd.

Detta koncept är användbart i kvantkryptografi, i samband med integritetsförstärkning (se till exempel ).

Definitioner

Definition: Låt $\rho _{AB}$ vara en tvådelad densitetsoperator på rymden ${\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H }}_{B}$ . Min-entropin för $A$ betingad av $B$ definieras som

H_{\min }(A|B)_{\rho }\equiv -\inf _ {\sigma _{B}}D_{\max }(\rho _{AB}\|I_{A}\otimes \sigma _{B})

där infimum sträcker sig över alla densitetsoperatorer $\sigma _{B}$ på utrymmet ${\mathcal {H}}_{B}$ . Måttet $D_{\max }$ är den maximala relativa entropin som definieras som

D_{\max }(\rho \|\sigma )=\inf _{\lambda }\{\lambda :\rho \leq 2^{\lambda }\sigma \}

Den jämna min-entropin definieras i termer av min-entropin.

H_{\min }^{\epsilon }(A|B)_{\rho }=\sup _{ \rho '}H_{\min }(A|B)_{\rho '}

där sup och inf intervallet över densitetsoperatorerna $\rho '_{AB}$ som är $\epsilon$ -nära $\rho _{AB}$ . Detta mått på $\epsilon$ -close definieras i termer av det renade avståndet

P(\rho ,\sigma )={\sqrt {1-F(\rho ,\sigma )^{2}}}

där $F(\rho ,\sigma )$ är trohetsmåttet .

Dessa kvantiteter kan ses som generaliseringar av von Neumann-entropin . Faktum är att von Neumann-entropin kan uttryckas som

S(A|B)_{\rho }=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}H_{\min } ^{\epsilon }(A^{n}|B^{n})_{\rho ^{\otimes n}}~.

Detta kallas den helt kvantasymptotiska ekvipartitionssatsen. De utjämnade entropierna delar många intressanta egenskaper med von Neumann-entropin. Till exempel uppfyller den jämna min-entropin en databehandlingsojämlikhet:

H_{\min }^{\epsilon }(A|B)_{\rho }\geq H_{\min }^{\epsilon }(A|BC)_{\rho }~.

Operationell tolkning av utjämnad minentropi

I fortsättningen kommer vi att ta bort nedsänkningen $\rho$ från min-entropin när det är uppenbart från sammanhanget i vilket tillstånd den utvärderas.

Min-entropi som osäkerhet om klassisk information

Anta att en agent hade tillgång till ett kvantsystem $B$ vars tillstånd $\rho _{B}^{x}$ beror på någon klassisk variabel $X$ . Antag vidare att vart och ett av dess element $x$ är fördelat enligt någon fördelning $P_{X}(x)$ . Detta kan beskrivas av följande tillstånd över systemet $XB$ .

\rho _{XB}=\summa _{x}P_{X}(x)|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{B}^{x},

där $\{|x\rangle \}$ utgör en ortonormal grund. Vi skulle vilja veta vad agenten kan lära sig om den klassiska variabeln $x$ . Låt $p_{g}(X|B)$ vara sannolikheten att agenten gissar $X$ när en optimal mätstrategi används

p_{g}(X|B)=\summa _{x}P_{X}(x )tr(E_{x}\rho _{B}^{x}),

där $E_{x}$ är POVM som maximerar detta uttryck. Det kan visas ^{[ citat behövs ]} att detta optimum kan uttryckas i termer av min-entropin som

p_{g}(X|B)=2^{-H_{\min }(X|B)}~.

Om tillståndet $\rho _{XB}$ är ett produkttillstånd, dvs. $\rho _{XB}=\sigma _{X}\otimes \tau _{B}$ för vissa densitetsoperatorer $\sigma _{X}$ och $\tau _{B}$ , då finns det ingen korrelation mellan systemen $X$ och $B$ . I det här fallet visar det sig att $2^{-H_{\min }(X|B)}=\max _{x}P_{X}(x)~.$

Min-entropi som avstånd från maximalt intrasslat tillstånd

Det maximalt intrasslade tillståndet $|\phi ^{+}\rangle$ på ett tvådelat system ${\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{ B}$ definieras som

|\phi ^{+}\rangle _{AB}={\frac {1}{\sqrt {d}}}\summa _{x_{A},x_{B}}|x_ {A}\rangle |x_{B}\rangle

där $\{|x_{A}\rangle \}$ och $\{|x_{B}\rangle \}$ bildar en ortonormal bas för utrymmena $A$ respektive $B$ . För ett tvådelat kvanttillstånd $\rho _{AB}$ definierar vi den maximala överlappningen med det maximalt intrasslade tillståndet som

q_{c}(A|B)=d_{A }\max _{\mathcal {E}}F\left((I_{A}\otimes {\mathcal {E}})\rho _{AB},|\phi ^{+}\rangle \langle \phi ^{+}|\right)^{2}

där maximum är över alla CPTP-operationer ${\mathcal {E}}$ och $d_{A}$ är dimensionen för delsystem $A$ . Detta är ett mått på hur korrelerat tillståndet $\rho _{AB}$ är. Det kan visas att $q_{c}(A|B)=2^{-H_{\min }(A|B)}$ . Om informationen i $A$ är klassisk, reduceras detta till uttrycket ovan för gissningssannolikheten.

Bevis på operativ karakterisering av minentropi

Beviset är från ett papper av König, Schaffner, Renner 2008. Det handlar om maskineriet av semidefinita program . Anta att vi får någon tvådelad densitetsoperator $\rho _{AB}$ . Från definitionen av min-entropin har vi

H_{\min }(A|B)=-\inf _{\sigma _{B}}\inf _{\lambda }\{\lambda |\rho _{AB}\leq 2^{\ lambda }(I_{A}\otimes \sigma _{B})\}~.

Detta kan skrivas om som

-\log \inf _{\sigma _{B}}\operatörsnamn {Tr} (\sigma _{B})

med förbehåll för villkoren

\sigma _{B}\geq 0

I_{A}\otimes \sigma _{B}\geq \rho _{AB}~.

Vi märker att infimumet tas över kompakta set och därför kan ersättas med ett minimum. Detta kan sedan uttryckas kortfattat som ett halvdefinierat program. Tänk på det primära problemet

{\text{min:}}\operatörsnamn {Tr} (\sigma _{B})

{\ text{med förbehåll för: }}I_{A}\otimes \sigma _{B}\geq \rho _{AB}

\sigma _{B}\geq 0~.

Detta primära problem kan också specificeras helt av matriserna $(\rho _{AB},I_{B},\operatörsnamn {Tr} ^{*})$ där $\operatorname {Tr} ^{*}$ är adjointen till det partiella spåret över $A$ . Åtgärden för $\operatorname {Tr} ^{*}$ på operatorer på $B$ kan skrivas som

\operatorname {Tr} ^{*}(X)=I_{A}\otimes X~.

Vi kan uttrycka det dubbla problemet som en maximering över operatorerna $E_{AB}$ på utrymmet $AB$ som

{\text{max:}}\operatörsnamn {Tr} (\rho _{AB}E_{AB})

{\text{med förbehåll för: }}\operatörsnamn {Tr} _{A}(E_{AB})=I_{B}

E_{AB}\geq 0~.

Med hjälp av Choi–Jamiołkowski-isomorfismen kan vi definiera kanalen ${\mathcal {E}}$ så att

d_{A}I_{A}\otimes {\mathcal {E}}^{\dolk }(|\phi ^{+}\rangle \langle \phi ^{+}|)=E_{AB}

där klocktillståndet definieras över utrymmet $AA'$ . Detta innebär att vi kan uttrycka det dubbla problemets objektiva funktion som

\langle \rho _{AB},E_{AB}\ rangle =d_{A}\langle \rho _{AB},I_{A}\otimes {\mathcal {E}}^{\dolk }(|\phi ^{+}\rangle \langle \phi ^{+ }|)\rangle

=d_{A}\langle I_{A}\otimes {\mathcal {E}}(\rho _{AB}),|\phi ^{+}\rangle \langle \phi ^{+ }|)\rangle

som önskat.

Observera att i händelse av att systemet $A$ är ett delvis klassiskt tillstånd enligt ovan, så minskar mängden som vi är ute efter till

\max P_{X}(x)\langle x|{\mathcal {E}}(\rho _{B}^{x})|x\rangle ~.

Vi kan tolka ${\mathcal {E}}$ som en gissningsstrategi och detta reduceras sedan till tolkningen ovan där en motståndare vill hitta strängen $x$ med tillgång till kvantinformation via system $B$ .

Se även