Milne-Thomsons cirkelsats

Inom vätskedynamik är Milne -Thomsons cirkelsats eller cirkelsatsen ett påstående som ger en ny strömfunktion för ett vätskeflöde när en cylinder placeras i det flödet. Den fick sitt namn efter den engelske matematikern LM Milne-Thomson .

Låt $f(z)$ vara den komplexa potentialen för ett vätskeflöde, där alla singulariteter för $f(z)$ ligger i $|z|>a$ . Om en cirkel $|z|=a$ placeras i det flödet, den komplexa potentialen för det nya flödet ges av

w=f(z)+{\overline {f\left({\frac {a^{2}}{\bar {z}}}\right)}}=f(z)+{\overline {f}}\left({\frac {a^{2}}{z}}\right).

med samma singulariteter som $f(z)$ i $|z|>a$ och $|z|=a$ är en strömlinje. På cirkeln $|z|=a$ , $z{\bar {z}}=a^{2}$ , därför

w=f(z)+{\overline {f(z)}}.

Exempel

Betrakta ett enhetligt irrotationsflöde $f(z)=Uz$ med hastigheten $U$ som flyter i den positiva $x$ -riktningen och placera en oändligt lång cylinder med radien $a$ i flödet med cylinderns mitt i origo. Då ${\displaystyle f\left({\frac {a^{2}}{\bar { z}}}\right)={\frac {Ua^{2}}{\bar {z}}},\ \Rightarrow \ {\overline {f\left({\frac {a^{2}}{ \bar {z}}}\right)}}={\frac {Ua^{2}}{z}}} ,$ därför använder man cirkelsatsen,

w(z)=U\left(z+{\frac {a^{2}}{z}}\right)

representerar den komplexa potentialen för likformigt flöde över en cylinder.

Se även