Milne-Thomson metod för att hitta en holomorf funktion

Inom matematiken är Milne-Thomson-metoden en metod för att hitta en holomorf funktion vars verkliga eller imaginära del ges. Den är uppkallad efter Louis Melville Milne-Thomson .

Introduktion

Låt $z=x+iy$ och ${\bar {z}}\ =x-iy$ där $x$ och ${ \displaystyle y}$ är verkliga .

Låt $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ vara vilken holomorf funktion som helst .

Exempel 1: $z^{4}=(x^{4}-6x^ {2}y^{2}+y^{4})+i(4x^{3}y-4xy^{3})$

Exempel 2: $\exp(iz)=\cos(x)\exp (-y)+i\sin(x)\exp(-y)$

I sin artikel överväger Milne-Thomson problemet med att hitta $f(z)$ när 1. $u(x,y)$ och $v(x,y)$ ges, 2. $u(x,y)$ ges och $f(z)$ är reell på reell axel, 3. endast $u(x,y)$ ges, 4. endast $v(x,y)$ ges. Han är verkligen intresserad av problem 3 och 4, men svaren på de enklare problemen 1 och 2 behövs för att bevisa svaren på problem 3 och 4.

1:a problemet

Problem : $u(x,y)$ och $v(x,y)$ är kända; vad är $f(z)$ ?

Svar : $f(z)=u(z,0)+iv(z,0)$

Med ord: den holomorfa funktionen $f(z)$ kan erhållas genom att sätta $x=z$ och $y=0$ i $u(x,y)+iv(x,y)$ .

Exempel 1: med $u(x,y)=x^{4}-6x^{2}y^{2}+y ^{4}$ och $v(x,y)=4x^{3}y-4xy^{3}$ vi får $f(z)=z^{4}$ .

Exempel 2: med $u(x,y)=\cos(x)\exp(-y)$ och $v(x,y)=\sin(x)\exp(-y)$ vi får $f(z)=\cos(z)+i\sin(z)=\exp(iz)$ .

Bevis :

Från det första definitionsparet $x={\frac {z+{\bar {z}}}{2}}$ och $y= {\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}$ .

Därför $f(z)=u\left( {\frac {z+{\bar {z}}}{2}}\ ,{\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}\right)+iv\left({\frac {z+ {\bar {z}}}{2}}\ ,{\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}\right)$ .

Detta är en identitet även när $x$ och $y$ inte är verkliga, dvs. de två variablerna $z$ och ${\bar {z}}\$ kan anses vara oberoende. Om vi ​​sätter ${\bar {z}}=z$ får vi $f(z)=u(z,0 )+iv(z,0)$ .

2:a problemet

Problem : $u(x,y)$ är känd, $v(x,y)$ är okänd, $f (x+i0)$ är verklig; vad är $f(z)$ ?

Svar : $f(z)=u(z,0)$ .

Endast exempel 1 gäller här: med $u(x,y)=x^{4}-6x^{2}y^{2 }+y^{4}$ får vi $f(z)=z^{4}$ .

Bevis : " $f(x+i0)$ är verklig" betyder $v(x,0)=0$ . I detta fall blir svaret på problem 1 $f(z)=u(z,0)$ .

3:e problemet

Problem : $u(x,y)$ är känd, $v(x,y)$ är okänd; vad är $f(z)$ ?

Svar : $f(z)=u(z,0)-i\int u_{y}(z,0) dz$ (där $u_{y}(x,y)$ är den partiella derivatan av $u(x,y)$ med avseende på ${ \displaystyle y}$ ).

Exempel 1: med $u(x,y)=x^{4}-6x^{2}y^{2}+y ^{4}$ och $u_{y}(x,y)=-12x^{2}y+4y^{3}$ vi får $f(z)=z^{4}+iC$ med reell men obestämd $C$ .

Exempel 2: med $u(x,y)=\cos(x)\exp(-y)$ och $u_{y}(x,y)=-\cos(x)\exp(-y)$ vi får $f(z)=\cos (z)+i\int \cos(z)dz=\cos(z)+i(\sin(z)+C)=\exp(iz)+iC$ .

Bevis : Detta följer av $f(z)=u(z,0)+i\int v_{x}(z ,0)dz$ och den andra Cauchy-Riemann-ekvationen $u_{y}(x,y)=-v_{x}(x,y )$ .

4:e problemet

Problem : $u(x,y)$ är okänd, $v(x,y)$ är känd; vad är $f(z)$ ?

Svar : $f(z)=\int v_{y}(z,0)dz+iv(z,0)$ .

Exempel 1: med $v(x,y)=4x^{3}y-4xy^{3}$ och $v_{y}(x,y)=4x^{3}-12xy^{2}$ vi får $f(z)=\int 4z^{3}dz+i0=z^{4}+C$ med verklig men obestämd $C$ .

Exempel 2: med $v(x,y)=\sin(x)\exp(-y)$ och $v_{y}(x,y)=-\sin(x)\exp(-y)$ vi får $f(z)=-\int \ sin(z)dz+i\sin(z)=\cos(z)+C+i\sin(z)=\exp(iz)+C$ .

Bevis : Detta följer av $f(z)=\int u_{x}(z,0)dz+iv(z ,0)$ och den första Cauchy-Riemann-ekvationen $u_{x}(x,y)=v_{y}(x,y)$ .