Mattig formel

Mattigs formel var en viktig formel inom observationskosmologi och extragalaktisk astronomi som ger förhållandet mellan radiell koordinat och rödförskjutning av en given källa. Det beror på den kosmologiska modellen som används och används för att beräkna ljusstyrkans avstånd i termer av rödförskjutning.

Den antar noll mörk energi och är därför inte längre tillämplig i moderna kosmologiska modeller som Lambda-CDM-modellen (som kräver en numerisk integration för att få avstånd-rödförskjutningsrelationen). Mattigs formel var dock av stor historisk betydelse som den första analytiska formeln för avstånd-rödförskjutningsförhållandet för godtycklig materiedensitet, och detta sporrade till betydande forskning på 1960- och 1970-talen som försökte mäta detta förhållande.

Utan mörk energi

Härledd av W. Mattig i en artikel från 1958, är den matematiska formuleringen av relationen,

$r_{1}={\frac {c}{R_{0} H_{0}}}{\frac {q_{0}z+(q_{0}-1)(-1+{\sqrt {1+2q_{0}z}})}{q_{0}^{2 }(1+z)}}$

Där, $r_{1}={\frac {d_{p}}{R}}={\frac {d_{c}}{R_{0}}}$ är det radiella koordinatavståndet (rätt avstånd för närvarande) för källan från observatören medan $d_{p}$ är det korrekta avståndet och $d_{c}$ är färdavståndet .

$q_{0}=\Omega _{0}/2$ är retardationsparametern medan $\Omega _{0}$ är densiteten av materia i universum för närvarande.

$R_{0}$ är skalfaktor för närvarande medan $R$ är skalfaktor vid någon annan tidpunkt.

$H_{0}$ är Hubbles konstant för närvarande och

$z$ är som vanligt rödförskjutningen .

Denna ekvation är endast giltig om $q_{0}>0$ . När ${\displaystyle q_{0}\leq 0} kan$ värdet på $r_{1}$ inte beräknas. Det följer av det faktum att härledningen inte antar någon kosmologisk konstant och, utan kosmologisk konstant, $q_{0}$ aldrig negativ.

Från den radiella koordinaten kan vi beräkna ljusstyrkans avstånd med hjälp av följande formel,

$D_{L}\ =\ R_{0} r_{1}(1+z)={\frac {c}{H_{0}q_{0}^{2}}}\left[q_{0}z+(q_{0}-1)(-1) +{\sqrt {1+2q_{0}z}})\right]$

När $q_{0}=0$ får vi ett annat uttryck för ljusstyrka med hjälp av Taylor-expansion ,

$D_{L}={\frac {c}{H_{0}}}\left(z+{\frac {z^{2}}{2} }\höger)$

Men 1977 tog Terrell fram en formel som är giltig för alla $q_{0}\geq 0$ ,

$D_{L}={\frac {c}{H_{0}}}z\vänster [1+{\frac {z(1-q_{0})}{1+q_{0}z+{\sqrt {1+2q_{0}z}}}}\höger]$