Matrisfaktorisering (algebra)

I homologisk algebra , en gren av matematik, är en matrisfaktorisering ett verktyg som används för att studera oändligt långa upplösningar , i allmänhet över kommutativa ringar.

Motivering

Ett av problemen med icke-släta algebror, såsom Artin algebras , är att deras härledda kategorier fungerar dåligt på grund av oändliga projektiva upplösningar. Till exempel, i ringen $R=\mathbb {C} [x]/(x^{2})$ finns en oändlig upplösning av $R$ -modul $\mathbb {C}$ där

$\cdots {\xrightarrow {\cdot x}}R{\xrightarrow {\cdot x}}R{\xrightarrow {\cdot x}} R\to \mathbb {C} \to 0$

Istället för att bara titta på den härledda kategorin av modulkategorin, studerade David Eisenbud sådana resolutioner genom att titta på deras periodicitet. I allmänhet är sådana upplösningar periodiska med period $2$ efter ändligt många objekt i upplösningen.

Definition

För en kommutativ ring $S$ och ett element $f\in S$ , är en matrisfaktorisering av $f$ ett par $n\ gånger n$ kvadratiska matriser $A,B$ så att $AB=f\cdot {\text{Id}}_{n}$ . Detta kan kodas mer allmänt som en $\mathbb {Z} /2$ graderad $S$ -modul $M=M_{0}\oplus M_{ 1}$ med en endomorfism

$d={\begin{bmatrix}0&d_{1}\\d_{0}&0\end{bmatrix}}$

så att $d^{2}=f\cdot {\text{Id}}_{M}$ .

Exempel

(1) För $S=\mathbb {C} [[x]]$ och $f=x^{n}$ finns en matrisfaktorisering $d_{0}:S\rightleftarrows S:d_{1}$ där $d_{0}=x^{i },d_{1}=x^{ni}$ för $0\leq i\leq n$ .

(2) Om $S=\mathbb {C} [[x,y,z]]$ och $f=xy+xz+yz$ , då finns det en matrisfaktorisering $d_{0}:S^{2}\rightleftarrows S^{2}:d_{1}$ var

$d_{0}={\begin{bmatrix}z&y\\x&-xy\end{bmatrix}}{ \text{ }}d_{1}={\begin{bmatrix}x+y&y\\x&-z\end{bmatrix}}$

Periodicitet

definition

Huvudsats

Givet en vanlig lokal ring $R$ och en ideal $I\subset R$ genererad av en $A$ -sekvens, set $B=A/ I$ och låt

$\cdots \to F_{2}\to F_{1}\to F_{0}\to 0$

vara en minimal $B$ -fri upplösning för markfältet. Då $F_{\bullet }$ periodisk efter högst $1+{\text{dim}}(B)$ steg. https://www.youtube.com/watch?v=2Jo5eCv9ZVY

Maximala Cohen-Macaulay-moduler

sida 18 i eisenbud-artikeln

Se även

• Härledd icke-kommutativ algebraisk geometri
• Härledd kategori
• Homologisk algebra
• Triangulerad kategori

Vidare läsning

• Homologisk algebra på en komplett skärningspunkt med en tillämpning på grupprepresentationer
• Geometrisk studie av kategorin matrisfaktoriseringar
• https://web.math.princeton.edu/~takumim/takumim_Spr13_JP.pdf
• https://arxiv.org/abs/1110.2918