Maharam algebra

Inom matematiken är en Maharam-algebra en komplett boolesk algebra med ett kontinuerligt delmått (definieras nedan). De introducerades av Dorothy Maharam ( 1947 ).

Definitioner

Ett kontinuerligt delmått eller Maharam-delmått på en boolesk algebra är en verkligt värderad funktion m så att

• $m(0)=0,m(1)=1,$ och $m(x)>0$ om ${ \displaystyle x\neq 0}$ .
• Om $x\leq y$ , då $m(x)\leq m(y)$ .
• $m(x\vee y)\leq m(x)+m(y)-m(x\wedge y)$ .
• Om $x_{n}$ är en avtagande sekvens med största nedre gräns 0, så har sekvensen $m(x_{n})$ gräns 0.

En Maharam-algebra är en komplett boolesk algebra med ett kontinuerligt delmått.

Exempel

Varje sannolikhetsmått är ett kontinuerligt delmått, så eftersom motsvarande booleska algebra av mätbara mängder modulomått nollmängder är komplett, är det en Maharam-algebra.

Michel Talagrand ( 2008 ) löste ett långvarigt problem genom att konstruera en Maharam-algebra som inte är en måttalgebra, dvs. som inte medger något räknat additivt strikt positivt ändligt mått.

•   Balcar, Bohuslav ; Jech, Thomas (2006), "Svag distributionsförmåga, ett problem med von Neumann och mysteriet om mätbarhet", Bulletin of Symbolic Logic , 12 ( 2): 241–266, doi : 10.2178 /bsl/1146620061 , MR 3,20399 , 222391 , Z.301  
•    Maharam, Dorothy (1947 ) , "An algebraic characterization of measure algebras", Annals of Mathematics , Second Series, 48 ​​: 154–167, doi : 10.2307/1969222 , JSTOR 1969222 , MR 00187108 , Zbl20708000187108  
•     Talagrand, Michel (2008), "Maharam's Problem", Annals of Mathematics , Second Series, 168 ( 3): 981–1009, doi : 10.4007 /annals.2008.168.981 , JSTOR 40345433 , MR 8128 .bl 814 .
•    Velickovic, Boban (2005), "CCC forcing and splitting reals", Israel Journal of Mathematics , 147 : 209–220, doi : 10.1007/BF02785365 , MR 2166361 , Zbl 11618.0304