Magnetohydrodynamisk turbulens

Magnetohydrodynamisk turbulens gäller de kaotiska regimerna av magnetofluidflöde vid högt Reynolds- tal . Magnetohydrodynamik (MHD) handlar om vad som är en kvasi-neutral vätska med mycket hög konduktivitet . Vätskeapproximationen innebär att fokus ligger på makrolängd- och tidsskalor som är mycket större än kollisionslängden respektive kollisionstiden.

Inkompressibla MHD-ekvationer

De inkompressibla MHD-ekvationerna för konstant massdensitet, $\rho =1$ , är

{\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} &=-\nabla p+ \mathbf {B} \cdot \nabla \mathbf {B} +\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} \\[5pt]{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t} }+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {B} &=\mathbf {B} \cdot \nabla \mathbf {u} +\eta \nabla ^{2}\mathbf {B} \\[5pt ]\nabla \cdot \mathbf {u} &=0\\[5pt]\nabla \cdot \mathbf {B} &=0.\end{aligned}}

där u , B , p representerar hastighets-, magnet- och totaltrycksfälten (termiskt+magnetiskt) fält, $\nu$ och $\eta$ representerar kinematisk viskositet och magnetisk diffusivitet . Den tredje ekvationen är inkompressibilitetsvillkoret . I ovanstående ekvation magnetfältet i Alfvén-enheter (samma som hastighetsenheter).

Det totala magnetfältet kan delas upp i två delar: $\mathbf {B} =\mathbf {B_{0}} +\mathbf {b}$ (medelvärde + fluktuationer).

Ovanstående ekvationer i termer av Elsässer-variabler ( ${\displaystyle \mathbf {z} ^{\pm }=\mathbf {u} \pm \mathbf {b} } )$ är

{\displaystyle {\ \mathbf {z} ^{\pm }}}{\partial t}}\mp \left(\mathbf {B} _{0}\cdot {\mathbf {\nabla} }\right){\mathbf {z } ^{\pm }}+\left({\mathbf {z} ^{\mp }}\cdot {\mathbf {\nabla } }\right){\mathbf {z} ^{\pm }}=- {\mathbf {\nabla } }p+\nu _{+}\nabla ^{2}\mathbf {z} ^{\pm }+\nu _{-}\nabla ^{2}\mathbf {z} ^ {\mp }

där $\nu _{\pm }={\frac {1}{2}}(\nu \pm \eta )$ . Icke-linjära interaktioner förekommer mellan de alfvéniska fluktuationerna $z^{\mp }$ .

De viktiga icke-dimensionella parametrarna för MHD är

{\begin{array}{lcl}{\text{Reynolds nummer }}Re&=&UL/\nu \\{\text{Magnetiskt Reynoldsnummer }}Re_{M}&=&UL/\eta \\{ \text{Magnetiskt Prandtl-nummer }}P_{M}&=&\nu /\eta .\end{array}}

Det magnetiska Prandtl-talet är en viktig egenskap hos vätskan. Flytande metaller har små magnetiska Prandtl-tal, till exempel är flytande natriums $P_{M}$ 10 $\displaystyle 10^{-5}}$ . Men plasma har stora $P_{M$ .

Reynoldstalet är förhållandet mellan den olinjära termen $\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u}$ i Navier–Stokes ekvation och den viskösa termen. Medan det magnetiska Reynoldstalet är förhållandet mellan den olinjära termen och den diffusiva termen för induktionsekvationen.

I många praktiska situationer är Reynolds-talet $Re$ för flödet ganska stort. För sådana flöden är typiskt hastigheten och magnetfälten slumpmässiga. Sådana flöden kallas för att uppvisa MHD-turbulens. Observera att $Re_{M}$ inte behöver vara stor för MHD-turbulens. $Re_{M}$ spelar en viktig roll i dynamoproblem (generering av magnetfält).

Det medelmagnetiska fältet spelar en viktig roll i MHD-turbulens, till exempel kan det göra turbulensen anisotropisk; undertrycka turbulensen genom att minska energikaskad etc. De tidigare MHD-turbulensmodellerna antog isotropi av turbulens, medan de senare modellerna har studerat anisotropa aspekter. I de följande diskussionerna kommer dessa modeller att sammanfattas. Fler diskussioner om MHD-turbulens finns i Biskamp, Verma. och Galtier.

Isotropa modeller

Iroshnikov och Kraichnan formulerade den första fenomenologiska teorin om MHD-turbulens. De hävdade att i närvaro av ett starkt medelmagnetfält, $z^{+}$ och $z^{-}$ i motsatta riktningar med fashastigheten för $B_{0}$ och interagera svagt. Den relevanta tidsskalan är Alfven tid $(B_{0}k)^{-1}$ . Som ett resultat är energispektra

E^{u}(k)\approx E^{b}(k)\approx A(\Pi V_{A})^{1/2}k^{-3/2}.

där $\Pi$ är energikaskadhastigheten.

Senare Dobrowolny et al. härledde följande generaliserade formler för kaskadhastigheterna för $z^{\pm }$ variabler:

\Pi ^{+}\approx \Pi ^ {-}\approx \tau _{k}^{\pm }E^{+}(k)E^{-}(k)k^{4}\approx E^{+}(k)E^{ -}(k)k^{3}/B_{0}

där $\tau ^{\pm }$ är interaktionstidsskalorna för $z^{\pm }$ variabler.

Iroshnikov och Kraichnans fenomenologi följer när vi väljer $\tau ^{\pm }\approx 1/(kV_{A})$ .

Marsch valde den olinjära tidsskalan $T_{NL}^{\pm }\approx (kz_{k}^{\mp })^{-1}$ som interaktionstidskalan för virvlarna och härledda Kolmogorov-liknande energispektrum för Elsasser-variablerna:

E^{\pm }(k)=K^{\pm }(\Pi ^{\pm })^{4/3}(\Pi ^{\mp })^{-2/3}k^{-5/3}

där $\Pi ^{+}$ och $\Pi ^{-}$ är energikaskadhastigheterna för $z^{+}$ och $z ^{-}$ respektive $K^{\pm }$ är konstanter.

Matthaeus och Zhou försökte kombinera ovanstående två tidsskalor genom att postulera interaktionstiden att vara det harmoniska medelvärdet av Alfven-tid och olinjär tid.

Den största skillnaden mellan de två konkurrerande fenomenologierna (−3/2 och −5/3) är de valda tidsskalorna för interaktionstiden. Det huvudsakliga underliggande antagandet är att Iroshnikovs och Kraichnans fenomenologi bör fungera för starkt medelmagnetfält, medan Marshs fenomenologi bör fungera när fluktuationerna dominerar medelmagnetfältet (stark turbulens).

Men som vi kommer att diskutera nedan tenderar solvindsobservationer och numeriska simuleringar att gynna −5/3 energispektrum även när medelmagnetfältet är starkare jämfört med fluktuationerna. Detta problem löstes av Verma med hjälp av renormaliseringsgruppanalys genom att visa att de alfvéniska fluktuationerna påverkas av skalberoende "lokalt medelmagnetfält". Det lokala medelmagnetfältet skalar som ${\displaystyle k^{-1/3}} ,$ vars ersättning i Dobrowolnys ekvation ger Kolmogorovs energispektrum för MHD-turbulens.

Renormaliseringsgruppanalys har också utförts för att beräkna den renormaliserade viskositeten och resistiviteten. Det visades att dessa diffusiva storheter skalas som $k^{-4/3}$ som återigen ger $k^{-5/3}$ energispektra i överensstämmelse med Kolmogorov-liknande modell för MHD-turbulens. Ovanstående renormaliseringsgruppberäkning har utförts för både noll och icke-noll korshelicitet.

Ovanstående fenomen antar isotrop turbulens som inte är fallet i närvaro av ett medelmagnetfält. Det medelmagnetiska fältet undertrycker typiskt energikaskaden längs riktningen för medelmagnetfältet.

Anisotropa modeller

Medelmagnetfält gör turbulens anisotropisk. Denna aspekt har studerats under de senaste två decennierna. I gränsen $\delta z^{\pm }\ll B_{0}$ , Galtier et al. visade med hjälp av kinetiska ekvationer att

E(k)\sim (\Pi B_{0})^{1/2}k_{\parallel }^ {1/2}k_{\perp }^{-2}

där $k_{\parallel }$ och $k_{\perp }$ är komponenter av vågnumret parallellt och vinkelrätt mot medelmagnetfältet. Ovanstående gräns kallas den svaga turbulensgränsen .

Under den starka turbulensgränsen, $\delta z^{\pm }\sim B_{0}$ , hävdar Goldereich och Sridhar att $k_{\ perp }z_{k_{\perp }}\sim k_{\parallel }B_{0}$ ("kritiskt balanserat tillstånd") vilket innebär att

{\begin{aligned}E(k)&\propto k_{\perp }^{-5/3};\\[5pt]k_{\parallel }&\propto k_{\perp }^{2/3}\end{aligned}}

Ovanstående anisotropa turbulensfenomenologi har utökats för MHD med stor korshelicitet.

Solvindsobservationer

Solvindsplasma är i turbulent tillstånd. Forskare har beräknat energispektra för solvindplasman från data som samlats in från rymdfarkosten. De kinetiska och magnetiska energispektra, liksom $E^{\pm }$ är närmare $k^{-5/3}$ jämfört med $k^{-3/2}$ , vilket gynnar Kolmogorov-liknande fenomenologi för MHD-turbulens. De interplanetära och interstellära elektrondensitetsfluktuationerna ger också ett fönster för att undersöka MHD-turbulens.

Numeriska simuleringar

De teoretiska modellerna som diskuterats ovan testas med hjälp av högupplöst direkt numerisk simulering (DNS). Antalet senaste simuleringar rapporterar att de spektrala indexen är närmare 5/3. Det finns andra som rapporterar spektrala index nära 3/2. Regimen för maktlagar är vanligtvis mindre än ett decennium. Eftersom 5/3 och 3/2 är ganska nära numeriskt, är det ganska svårt att fastställa giltigheten av MHD-turbulensmodeller från energispektra.

Energiflöden $\Pi ^{\pm }$ kan vara mer tillförlitliga storheter för att validera MHD-turbulensmodeller. När $E^{+}(k)\gg E^{-}(k)$ (fluid med hög korshelicitet eller obalanserad MHD) energiflödesförutsägelserna för Kraichnan och Iroshnikov-modellen skiljer sig mycket från den Kolmogorov-liknande modellen. Det har visats med DNS att flödena $\Pi ^{\pm }$ som beräknats från de numeriska simuleringarna överensstämmer bättre med den Kolmogorov-liknande modellen jämfört med Kraichnan och Iroshnikov-modellen.

Anisotropa aspekter av MHD-turbulens har också studerats med numeriska simuleringar. Förutsägelserna från Goldreich och Sridhar ( $k_{||}\sim k_{\perp }^{2/3}$ ) har verifierats i många simuleringar.

Energiöverföring

Energiöverföring mellan olika skalor mellan hastighet och magnetfält är ett viktigt problem vid MHD-turbulens. Dessa kvantiteter har beräknats både teoretiskt och numeriskt. Dessa beräkningar visar en betydande energiöverföring från det storskaliga hastighetsfältet till det storskaliga magnetfältet. Dessutom är kaskaden av magnetisk energi vanligtvis framåt. Dessa resultat har avgörande betydelse för dynamoproblemet.

Det finns många öppna utmaningar inom detta område som förhoppningsvis kommer att lösas inom en snar framtid med hjälp av numeriska simuleringar, teoretisk modellering, experiment och observationer (t.ex. solvind).

Se även