Maclaurin sfäroid

En Maclaurin sfäroid är en oblate sfäroid som uppstår när en självgraviterande flytande kropp med likformig densitet roterar med en konstant vinkelhastighet. Denna sfäroid är uppkallad efter den skotske matematikern Colin Maclaurin , som formulerade den för jordens form 1742. Faktum är att jordens figur är mycket mindre oblate än vad Maclaurins formel antyder, eftersom jorden inte är homogen, utan har ett tätt järn. kärna. Maclaurin-sfäroiden anses vara den enklaste modellen av roterande ellipsoida figurer i hydrostatisk jämvikt eftersom den antar enhetlig densitet.

Maclaurin formel

Vinkelhastighet för Maclaurin sfäroid

För en sfäroid med ekvatorial halvstor axel $a$ och polär semi-mollaxel ${\displaystyle c} ,$ ges vinkelhastigheten $\Omega$ omkring ${\displaystyle c} av Maclaurins formel$

{ \frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}={\frac {2{\sqrt {1-e^{2}}}}{e^{3}}}(3-2e ^{2})\sin ^{-1}e-{\frac {6}{e^{2}}}(1-e^{2}),\quad e^{2}=1-{\ frac {c^{2}}{a^{2}}},

där $e$ är excentriciteten för meridionala tvärsnitt av sfäroiden, $\rho$ är densiteten och $G$ är gravitationskonstanten . Formeln förutsäger två möjliga jämviktssiffror när $\Omega \rightarrow 0$ , den ena är en sfär ( $e\rightarrow 0$ ) och den andra är en mycket tillplattad sfäroid ( ${\ displaystyle e\rightarrow 1}$ ). Den maximala vinkelhastigheten inträffar vid excentriciteten $e=0,92996$ och dess värde är $\Omega ^{2}/(\pi G\rho 931 )331.$ , så att över denna hastighet finns inga jämviktssiffror. Vinkelmomentet $L$ är

{\frac {L}{\sqrt {GM^{3} {\bar {a}}}}}={\frac {\sqrt {3}}{5}}\left({\frac {a}{\bar {a}}}\right)^{2}{ \sqrt {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}}\ ,\quad {\bar {a}}=(a^{2}c)^{1/3}

där $M$ är sfäroidens massa och ${\bar {a}}$ är medelradien , radien för en sfär med samma volym som sfäroiden.

Stabilitet

För en Maclaurin-sfäroid med excentricitet större än 0,812670, har en Jacobi-ellipsoid med samma rörelsemängd lägre total energi. Om en sådan sfäroid består av en trögflytande vätska, och om den drabbas av en störning som bryter dess rotationssymmetri, kommer den gradvis att förlängas till Jacobi-ellipsoidformen, samtidigt som den avleder sin överskottsenergi som värme. Detta kallas sekulär instabilitet . För en liknande sfäroid som består av en inviscid vätska kommer emellertid störningen endast att resultera i en odämpad oscillation. Detta beskrivs som dynamisk (eller vanlig ) stabilitet .

En Maclaurin-sfäroid med excentricitet större än 0,952887 är dynamiskt instabil. Även om den är sammansatt av en inviscid vätska och inte har någon möjlighet att förlora energi, kommer en lämplig störning att växa (åtminstone initialt) exponentiellt. Dynamisk instabilitet innebär sekulär instabilitet (och sekulär stabilitet innebär dynamisk stabilitet).

Se även