Mått på icke-kompakthet
I funktionsanalys används vanligtvis två mått på icke-kompakthet ; dessa associerar siffror till mängder på ett sådant sätt att kompakta mängder alla får måttet 0, och andra mängder får måtten som är större beroende på "hur långt" de är borta från kompakthet.
Den underliggande idén är följande: en avgränsad uppsättning kan täckas av en enda boll med någon radie. Ibland kan flera bollar med en mindre radie också täcka uppsättningen. En kompakt uppsättning kan faktiskt täckas av ändligt många bollar med godtycklig liten radie, eftersom den är helt avgränsad . Så man kan fråga sig: vad är den minsta radien som gör att man kan täcka setet med ändligt många bollar?
Formellt börjar vi med ett metriskt mellanrum M och en delmängd X . Kulmåttet för icke-kompakthet definieras som
- α( X ) = inf { r > 0 : det finns ändligt många kulor med radien r som täcker X }
och Kuratowski-måttet på icke-kompakthet definieras som
- β( X ) = inf { d > 0 : det finns ändligt många uppsättningar av diameter som mest d som täcker X }
Eftersom en kula med radien r har en diameter på högst 2 r , har vi α( X ) ≤ β( X ) ≤ 2α( X ).
De två måtten α och β delar många egenskaper, och vi kommer att använda γ i uppföljaren för att beteckna endera av dem. Här är en samling fakta:
- X är begränsat om och endast om γ( X ) < ∞.
- γ( X ) = γ( X cl ), där X cl betecknar stängningen av X .
- Om X är kompakt, då är γ( X ) = 0. Omvänt, om γ( X ) = 0 och X är komplett , så är X kompakt.
- γ( X ∪ Y ) = max(γ( X ), γ( Y )) för två godtyckliga delmängder X och Y .
- γ är kontinuerlig med avseende på Hausdorff-avståndet för uppsättningar.
Mått på icke-kompakthet används oftast om M är ett normerat vektorrum . I det här fallet har vi dessutom:
- γ( aX ) = | en | γ( X ) för varje skalär a
- γ( X + Y ) ≤ γ( X ) + γ( Y )
- γ(conv( X )) = γ( X ), där conv( X ) anger det konvexa skrovet på X
Observera att dessa mått på icke-kompakthet är värdelösa för delmängder av det euklidiska rummet R n : enligt Heine–Borel-satsen är varje begränsad sluten mängd kompakt där, vilket betyder att γ( X ) = 0 eller ∞ beroende på om X är begränsat eller inte.
Mått på icke-kompakthet är dock användbara i studiet av oändligt dimensionella Banach-utrymmen , till exempel. I detta sammanhang kan man bevisa att vilken kula B som helst med radien r har α( B ) = r och β( B ) = 2 r .
Se även
- Józef Banaś, Kazimierz Goebel: Measures of noncompactness in Banach spaces , Institute of Mathematics, Polish Academy of Sciences, Warszawa 1979
- Kazimierz Kuratowski : Topologie Vol I , PWN. Warszawa 1958
- RR Akhmerov, MI Kamenskii, AS Potapova, AE Rodkina och BN Sadovskii, Measure of Noncompactness and Condensing Operators , Birkhäuser, Basel 1992