Lyapunov vektor

I tillämpad matematik och dynamisk systemteori beskriver Lyapunov- vektorer , uppkallade efter Aleksandr Lyapunov , karakteristiska expanderande och sammandragande riktningar för ett dynamiskt system. De har använts i förutsägbarhetsanalyser och som initiala störningar för ensembleprognoser i numeriska väderförutsägelser . I modern praxis ersätts de ofta av uppfödda vektorer för detta ändamål.

Matematisk beskrivning

Skildring av den asymmetriska tillväxten av störningar längs en utvecklad bana.

Lyapunov-vektorer definieras längs banorna för ett dynamiskt system. Om systemet kan beskrivas av en d-dimensionell tillståndsvektor $x\in \mathbb {R} ^{d}$ Lyapunovvektorerna $v^{( k)}(x)$ , $(k=1\dots d)$ pekar i de riktningar i vilka en oändlig störning kommer att växa asymptotiskt, exponentiellt med en medelhastighet som ges av Lyapunov-exponenterna $\lambda _{k}$ .

• När den expanderas i termer av Lyapunov-vektorer kommer en störning asymptotiskt i linje med Lyapunov-vektorn i den expansionen som motsvarar den största Lyapunov-exponenten eftersom denna riktning växer ur alla andra. Därför ligger nästan alla störningar asymptotiskt i linje med Lyapunov-vektorn som motsvarar den största Lyapunov-exponenten i systemet.
• I vissa fall kanske Lyapunov-vektorer inte existerar.
• Lyapunov-vektorer är inte nödvändigtvis ortogonala.
• Lyapunov-vektorer är inte identiska med de lokala huvudsakliga expanderande och sammandragande riktningarna, dvs egenvektorerna för jakobian . Medan de senare endast kräver lokal kunskap om systemet, påverkas Lyapunov-vektorerna av alla jakobier längs en bana.
• Lyapunovvektorerna för en periodisk bana är Floquet-vektorerna för denna bana.

Numerisk metod

Om det dynamiska systemet är differentierbart och Lyapunov-vektorerna existerar, kan de hittas genom iterationer framåt och bakåt av det linjäriserade systemet längs en bana. Låt $x_{n+1}=M_{t_{n}\to t_{n+1}}(x_{n})$ mappa systemet med tillståndsvektor $x_{n}$ vid tidpunkten $t_{n}$ till tillståndet $x_{n+1}$ vid tidpunkten $t_{n+1}$ . Linjäriseringen av denna karta, dvs. den jakobianska matrisen $~J_{n}$ beskriver förändringen av en oändligt liten störning $h_{n}$ . Det är

$M_{t_{ n}\till t_{n+1}}(x_{n}+h_{n})\approx M_{t_{n}\till t_{n+1}}(x_{n})+J_{n} h_{n}=x_{n+1}+h_{n+1}$

Börjar med en identitetsmatris $Q_{0}=\mathbb {I} ~$ iterationerna

$Q_{n+1}R_{n+1}=J_{n}Q_{n}$

där $Q_{n+1}R_{n+1}$ ges av Gram-Schmidt QR-sönderdelningen av $J_{n}Q_{n}$ , kommer asymptotiskt att konvergera till matriser som endast beror på punkterna $x_{n}$ i en bana men inte på det initiala valet av $Q_{0}$ . Raderna i de ortogonala matriserna $Q_{n}$ definierar en lokal ortogonal referensram vid varje punkt och de första $k$ -raderna spänner över samma utrymme som Lyapunov-vektorerna som motsvarar k $\displaystyle k}$ största Lyapunov-exponenterna. De övre triangulära matriserna $R_{n}$ beskriver förändringen av en infinitesimal störning från en lokal ortogonal ram till nästa. De diagonala posterna $r_{kk}^{(n)}$ av $R_{n}$ är lokala tillväxtfaktorer i Lyapunovvektorernas riktningar. Lyapunov-exponenterna ges av de genomsnittliga tillväxttakten

$\lambda _{k}=\lim _{m\to \infty } {\frac {1}{t_{n+m}-t_{n}}}\summa _{l=1}^{m}\log r_{kk}^{(n+l)}$

och i kraft av sträckning, rotation och Gram-Schmidt-ortogonalisering ordnas Lyapunov-exponenterna som $\lambda _{1}\geq \lambda _{2} \geq \dots geq \lambda _{d}$ . När den itereras framåt i tiden kommer en slumpmässig vektor som finns i det utrymme som sträcks av de första $k$ -kolumnerna i $Q_{n}$ nästan säkert asymptotiskt att växa med den största Lyapunov-exponenten och anpassa sig till motsvarande Lyapunov vektor. I synnerhet kommer den första kolumnen i $Q_{n}$ att peka i riktning mot Lyapunov-vektorn med den största Lyapunov-exponenten om $n$ är tillräckligt stor. När den itereras bakåt i tiden kommer en slumpmässig vektor som finns i det utrymme som sträcks av de första $k$ -kolumnerna i $Q_{n+m}$ nästan säkert, asymptotiskt att ställas i linje med Lyapunov-vektorn motsvarande k ${\displaystyle k}:$ e största Lyapunov-exponenten, om $n$ och $m$ tillräckligt stora. Genom att definiera $c_{n}=Q_{n}^{T}h_{n}$ finner vi $c_{n- 1}=R_{n}^{-1}c_{n}$ . Väljer de första $k$ -posterna av $c_{n+m}$ slumpmässigt och de andra posterna noll, och itererar denna vektor bakåt i tiden, vektorn $Q_ {n}c_{n}$ ligger nästan säkert i linje med Lyapunovvektorn $v^{(k)}(x_{n})$ motsvarande $k$ th största Lyapunov-exponenten om $m$ och $n$ är tillräckligt stora. Eftersom iterationerna exponentiellt kommer att blåsa upp eller krympa en vektor kan den åternormaliseras vid vilken iterationspunkt som helst utan att ändra riktningen.