Luddrig sfär

Inom matematiken är den luddiga sfären ett av de enklaste och mest kanoniska exemplen på icke-kommutativ geometri . Vanligtvis bildar de funktioner som definieras på en sfär en pendlingsalgebra. En fuzzy sfär skiljer sig från en vanlig sfär eftersom algebra av funktioner på den inte är kommutativ. Den genereras av sfäriska övertoner vars spin l är högst lika med någon j . Termerna i produkten av två sfäriska övertoner som involverar sfäriska övertoner med spinn som överstiger j utelämnas helt enkelt i produkten. Denna trunkering ersätter en oändligt dimensionell kommutativ algebra med en $j^{2}$ -dimensionell icke-kommutativ algebra.

Det enklaste sättet att se denna sfär är att realisera denna trunkerade algebra av funktioner som en matrisalgebra på något ändligt dimensionellt vektorrum. Ta de tre j -dimensionella matriserna $J_{a},~a=1,2,3$ som utgör en bas för den j -dimensionella irreducerbara representationen av Lie-algebra su( 2) . De uppfyller relationerna ${\displaystyle [J_{a},J_{b}]=i\epsilon _{abc}J_{c}} ,$ där $\epsilon _{abc}$ är den totalt antisymmetriska symbolen med ${\displaystyle \epsilon _{123}=1} ,$ och genererar via matrisprodukten algebra $M_{ j}$ av j dimensionella matriser. Värdet på su(2) Casimir-operatören i denna representation är

$J_{1}^{2}+J_{2}^{2}+J_{3}^{2} ={\frac {1}{4}}(j^{2}-1)I$

där I är den j -dimensionella identitetsmatrisen. Således, om vi definierar 'koordinaterna' $x_{a}=kr^{-1}J_{a}$ där r är sfärens radie och k är en parameter , relaterad till r och j med ${\displaystyle 4r^{4}=k^{2}(j^{2}-1)} ,$ sedan ovanstående ekvation angående Casimir-operatör kan skrivas om som

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=r^{2}$ ,

vilket är den vanliga relationen för koordinaterna på en sfär med radie r inbäddad i tredimensionellt rymd.

Man kan definiera en integral på detta utrymme, genom

$\int _{S^{2}}fd\Omega :=2\pi k\,{\text{Tr}}(F)$

där F är matrisen som motsvarar funktionen f . Till exempel är integralen av enhet, som ger sfärens yta i det kommutativa fallet, här lika med

$2\pi k\,{\text{Tr}}(I)=2\pi kj=4\pi r^{2}{\frac {j}{\sqrt {j^{2}-1}}}$

som konvergerar till värdet på sfärens yta om man tar j till oändligheten.

Se även

• Luddrig torus

Anteckningar

• Jens Hoppe, "Membranes and Matrix Models", föreläsningar som presenterades under sommarskolan om 'Quantum Field Theory – from a Hamiltonian Point of View', 2–9 augusti 2000, arXiv : hep- th / 0206192
• John Madore, An introduction to Noncommutative Differential Geometry and its Physical Applications, London Mathematical Society Lecture Note Series. 257, Cambridge University Press 2002

J. Hoppe, Kvantteorin om en masslös relativistisk yta och ett tvådimensionellt bundet tillståndsproblem. Doktorsavhandling, Massachusetts Institute of Technology, 1982.