Lotteri (sannolikhet)
I teorin om förväntad nytta är ett lotteri en diskret fördelning av sannolikhet på en uppsättning naturtillstånd . Elementen i ett lotteri motsvarar sannolikheterna för att vart och ett av naturtillstånden kommer att inträffa, t.ex. (Regn:.70, Inget regn:.30). Mycket av den teoretiska analysen av val under osäkerhet handlar om att karakterisera de tillgängliga valmöjligheterna i termer av lotterier.
Inom ekonomi antas individer rangordna lotterier enligt ett rationellt system av preferenser , även om det nu är accepterat att människor gör irrationella val systematiskt. Beteendeekonomi studerar vad som händer på marknader där vissa av agenterna uppvisar mänskliga komplikationer och begränsningar.
Val under risk
Enligt förväntad nyttoteorin väljer någon bland lotterier genom att multiplicera sin subjektiva uppskattning av sannolikheterna för de möjliga utfallen med en nytta som är kopplad till varje utfall med sin personliga nyttofunktion . Således har varje lotteri en förväntad nytta, en linjär kombination av nyttan av resultaten där vikter är de subjektiva sannolikheterna. Det är också grundat i det berömda exemplet, St. Petersburg-paradoxen : som Daniel Bernoulli nämnde, kan nyttofunktionen i lotteriet vara beroende av hur mycket pengar han hade före lotteriet.
Låt det till exempel finnas tre utfall som kan bli resultatet av att en sjuk person tar antingen den nya drogen A eller B för sitt tillstånd: "Cured", "Oboted" och "Dead". Varje läkemedel är ett lotteri. Antag att sannolikheterna för lotteri A är (Cured: 0,90, Obotad: 0,00, Död: 0,10), och för lotteri B är (Cured: 0,50, Obotad: 0,50, Död: 0,00).
Om personen fick välja mellan lotteri A och B, hur skulle de göra det? En teori om val under risk börjar med att låta människor ha preferenser på uppsättningen av lotterier framför de tre naturtillstånden – inte bara A och B, utan alla andra möjliga lotterier. Om preferenser framför lotterier är kompletta och transitiva kallas de rationella . Om människor följer axiomen för förväntad nytta teori, kommer deras preferenser framför lotterier att följa varje lotteri ranking i termer av förväntad nytta. Låt nyttovärdena för den sjuke vara:
- Härdad: 16 utils
- Ohärdad: 12 utils
- Död: 0 utils
I det här fallet är den förväntade nyttan av Lotteri A 14,4 (= .90(16) + .10(0)) och den förväntade nyttan av Lotteri B är 14 (= .50(16) + .50(12)), så personen skulle föredra Lotteri A. Förväntad nyttoteori innebär att samma verktyg kan användas för att förutsäga personens beteende i alla möjliga lotterier. Om han till exempel hade ett val mellan lotteri A och ett nytt lotteri C bestående av (Cured: .80, Uncured: .15 Dead: .05), säger förväntad nytta teori att han skulle välja C, eftersom dess förväntade nytta är 14,6 (= .80(16) +.15(12) +.05(0)).
Den paradox som Maurice Allais argumenterade för komplicerar den förväntade nyttan i lotteriet. I motsats till det tidigare exemplet, låt det bli resultat som består av att bara förlora pengar. I situation 1 har alternativ 1a en viss förlust på $500 och alternativ 1b har lika sannolikheter att förlora $1000 eller $0. I situation 2 har alternativ 2a en 10% chans att förlora $500 och en 90% chans att förlora $0, och alternativ 2b har en 5% chans att förlora $1000 och en 95% chans att förlora $0. Denna omständighet kan beskrivas med de förväntade nyttoekvationerna nedan:
- Situation 1
- Alternativ a: U (-$500)
- Alternativ b: 0,5 U(-$1000) + 0,5 U($0)
- Situation 2
- Alternativ a: 0,1 U(-$500) + 0,9 U($0)
- Alternativ b: 0,05 U(-$1000) + 0,95 U($0)
Många människor tenderar att fatta olika beslut mellan situationer. Människor föredrar alternativ 1a till 1b i situation 1 och 2b till 2a i situation 2. Två situationer har dock samma struktur, vilket orsakar en paradox:
- Situation 1: U(-$500) > 0,5 U(-$1000) + 0,5 U($0)
- Situation 2:
- 0,1 U(-$500) + 0,9 U($0) < 0,05 U(-$1000) + 0,95 U($0)
- 0,1 U(-$500) < 0,05 U(-$1000) + 0,05 U($0)
- U(-$500) < 0,5 U(-$1000) + 0,5 U($0)
Den möjliga förklaringen till ovanstående är att det har en "säkerhetseffekt", att utfallen utan sannolikheter (förutbestämda) kommer att få större effekt på nyttofunktionerna och slutliga beslut. I många fall kan denna fokusering på säkerhet orsaka inkonsekventa beslut och preferenser. Dessutom tenderar folk att hitta några ledtrådar från lotteriernas format eller sammanhang.
Det hävdades dessutom att hur mycket folk fick utbildning i statistik kunde påverka beslutsfattandet i lotteriet. Under en serie experiment drog han slutsatsen att en person som är statistiskt tränad kommer att vara mer benägna att få konsekventa och säkra resultat som kan vara en generaliserad form.
Antagandet om att linjärt kombinera de individuella verktygen och göra det resulterande antalet till kriteriet som ska maximeras kan motiveras av skälen för oberoendeaxiomet . Därför beror giltigheten av förväntad nytta teori på giltigheten av oberoende axiom. Preferensrelationen uppfyller oberoende om för tre enkla lotterier , , och valfritt tal det håller
om och endast om
Likgiltighetskartor kan representeras i simplex .
2) http://www.stanford.edu/~jdlevin/Econ%20202/Uncertainty.pdf