Lotschnittaxiom

Lotschnittaxiom (tyska för "axiom för de korsande perpendicularerna") är ett axiom i geometrins grunder, introducerat och studerat av Friedrich Bachmann . Det står:

Perpendikulära upphöjda på varje sida av en rät vinkel skär varandra.

Bachmann visade att, i avsaknad av det arkimedeiska axiomet , är det strikt svagare än rektangelaxiomet, som säger att det finns en rektangel, som i sin tur är strikt svagare än det parallella postulatet , som visas av Max Dehn . I närvaro av det arkimedeiska axiomet är Lotschnittaxiom ekvivalent med det parallella postulatet .

Likvärdiga formuleringar

Som framgår av Bachmann är Lotschnittaxiom ekvivalent med påståendet

Genom vilken punkt som helst i en rät vinkel passerar en linje som skär båda sidorna av vinkeln.

Det visades genom att det också motsvarar påståendet

Höjden i en likbent triangel med basvinklar på 45° är mindre än basen.

och genom att det är ekvivalent med följande axiom som föreslås av Lagrange :

Om linjerna a och b är två skärande linjer som är parallella med en linje g, så är reflektionen av a i b också parallell med g.

Som visas i, är Lotschnittaxiom också likvärdigt med följande uttalanden, det första beror på A. Lippman, det andra beror på Henri Lebesgue

Med tanke på vilken cirkel som helst, finns det en triangel som innehåller den cirkeln i dess inre.

Med tanke på någon konvex fyrhörning, finns det en triangel som innehåller den konvexa fyrhörningen i dess inre.

Ytterligare tre ekvivalenta formuleringar, alla rent infallsgeometriska, bevisades i:

Med tre parallella linjer finns det en linje som skär dem alla tre.

Det finns linjer a och b, så att vilken linje som helst skär a eller b.

Om linjerna a_1, a_2 och a_3 är parvis parallella, så finns det en permutation (i,j,k) av (1,2,3) så att vilken linje g som helst som skär a_i och a_j också skär a_k.

I Bachmanns geometri av linjereflektioner

Dess roll i Friedrich Bachmanns absoluta geometri baserad på linjereflektioner, i frånvaro av ordning eller fri rörlighet (teorin om metriska plan) studerades i och i.

Anslutning till det parallella postulatet

Som visas i, är konjunktionen av Lotschnittaxiom och Aristoteles axiom ekvivalent med det parallella postulatet .

Källor

•   Bachmann, Friedrich (1964), "Zur Parallelenfrage" , Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 27 (3–4): 173–192, doi : 10.1007/BF02993215 , S2CID 186240918
• Pambuccian, Victor (1994), " Zum Stufenaufbau des Parallelenaxioms" , Journal of Geometry , 51 (1–2): 79–88, doi : 10.1007/BF01226859 , hdl : 2027.42/4303C , 8203C  
•   Pambuccian, Victor; Schacht, Celia (2019), "Lippmann's axiom and Lebesgue's axiom are equivalent to the Lotschnittaxiom" , Beiträge zur Algebra und Geometrie , 60 (4): 733–748, doi : 10.1007/s13366-0459-400, S13366-0459-400, S13366-0459-700 , S919-740 , S929-400
•   Pambuccian, Victor; Schacht, Celia (2021), "The allestädes närvarande axiom" , Results in Mathematics , 76 (3): 1–39, doi : 10.1007/s00025-021-01424-3 , S2CID 236236967