Lorenz asymmetrikoefficient

Lorenz -asymmetrikoefficienten ( LAC ) är en sammanfattande statistik över Lorenz-kurvan som mäter graden av asymmetri i kurvan. Lorenzkurvan används för att beskriva ojämlikheten i fördelningen av en kvantitet (vanligtvis inkomst eller förmögenhet i ekonomi, eller storlek eller reproduktiv produktion inom ekologi). Den vanligaste sammanfattande statistiken för Lorenzkurvan är Gini-koefficienten, som är ett övergripande mått på ojämlikhet inom befolkningen. Lorenz-asymmetrikoefficienten kan vara ett användbart komplement till Gini-koefficienten. Lorenz-asymmetrikoefficienten definieras som

$S=F(\mu )+L(\mu )$

där funktionerna F och L definieras som för Lorenzkurvan och μ är medelvärdet. Om S > 1, så är punkten där Lorenz-kurvan är parallell med likhetslinjen ovanför symmetriaxeln. På motsvarande sätt, om S < 1, så är punkten där Lorenz-kurvan är parallell med jämlikhetslinjen under symmetriaxeln.

Om data härrör från log-normalfördelningen är S = 1 , dvs. Lorenzkurvan är symmetrisk.

Provstatistiken S kan beräknas från n ordnade storleksdata, $(x_{1},...,x_ {m},x_{m+1},...,x_{n})$ , med följande ekvationer:

$\delta ={\frac {\mu -x_{m}}{x_{m+1}-x_{m}}}$

$F(\mu )={\frac {m+\delta}{n}}$

$L(\mu ) ={\frac {L_{m}+\delta x_{m+1}}{L_{n}}}$ ,

där m är antalet individer med en storlek eller förmögenhet mindre än μ och ${\displaystyle L_{i}=\summa _{j=1}^{i}x_{j$ . Men om en eller flera av datastorlekarna är lika med μ måste S definieras som ett intervall istället för ett tal (se #LAC-intervall när vissa data är lika med μ ).

Lorenz-asymmetrikoefficienten kännetecknar en viktig aspekt av formen på en Lorenz-kurva. Den berättar vilken storlek eller förmögenhetsklasser som bidrar mest till befolkningens totala ojämlikhet, mätt med Gini-koefficienten. Om LAC är mindre än 1 beror ojämlikheten främst på de relativt många små eller fattiga individerna. Om LAC är större än 1 beror ojämlikheten främst på de få största eller rikaste individerna.

För inkomster fördelade enligt en log-normalfördelning är LAC identiskt 1.

LAC-intervall när vissa data är lika med μ

Ovanstående formler antar att inget av datavärdena är lika med μ ; strängt taget antar vi att datastorlekarna är kontinuerligt fördelade, så att $P(x_{i}=\mu )\approx 0$ . Annars, om en eller flera av $x_{i}=\mu$ , så är en del av Lorenzkurvan parallell med diagonalen och S måste definieras som ett intervall istället för ett tal. Intervallet kan definieras enligt följande:

$\left[{\frac {m}{n}}+{\frac {L_{m}}{L_{ n}}},{\frac {m+a}{n}}+{\frac {L_{m+a}}{L_{n}}}\right]$

där a är antalet datavärden som är lika med μ .

Anteckningar

• Damgaard, Christian; Weiner, Jacob (2000). "Beskriva ojämlikhet i växtstorlek eller fruktsamhet". Ekologi . 81 (4): 1139–1142. doi : 10.1890/0012-9658(2000)081[1139:DIIPSO]2.0.CO;2 .

externa länkar

• LORENZ 3.0 är en Mathematica- anteckningsbok som ritar prov av Lorenz-kurvor och beräknar Gini-koefficienter och Lorenz-asymmetrikoefficienter från data i ett Excel-ark.