Lokalt kriterium för planhet

I algebra ger det lokala kriteriet för planhet villkor som man kan kontrollera för att visa en moduls planhet .

Påstående

Givet en kommutativ ring A , en ideal I och en A -modul M , anta antingen

• A är en Noetherian ring och M är idealiskt separerad för I : för varje ideal ${\displaystyle {\mathfrak {a}}} ,$ ⋂ $\displaystyle \bigcap _{n\ geq 1}I^{n}({\mathfrak {a}}\otimes M)=0} ($ till exempel, detta är fallet när A är en Noetherian lokal ring , I dess maximala ideal och M ändligt genererad),

eller

• Jag är nilpotent .

Då är följande likvärdiga:

1. M är en platt modul .
2. $M/I$ är platt över $A/I$ och $\operatorname {Tor} _{1}^{ A}(A/I,M)=0$ .
3. För varje $displaystyle n\geq 0} är$$M_{n}=M/I^{n+1}M$ 1 platt över $A_{n}=A/I^{n+1}$ .
4. I beteckningarna för 3. är $M_{0}$$A_{0}$ -platt och den naturliga $\operatorname {gr} _{I}A$ - modul surjection

   $\operatorname {gr} _{I}A\otimes _{A_{0}}M_{0}\to \operatorname {gr} _{I }M$

   är en isomorfism; dvs varje $I^{n}/I^{n+1}\otimes _{A_{0}}M_{ 0}\to I^{n}M/I^{n+1}M$ är en isomorfism.

Antagandet att " A är en Noetherian ring" används för att åberopa Artin–Rees-lemmat och kan försvagas; ser

Bevis

Efter SGA 1, Exposé IV, bevisar vi först några lemman, som är intressanta i sig. (Se även detta blogginlägg av Akhil Mathew för ett bevis på ett specialfall.)

Lemma 1 — Givet en ringhomomorfism $A\to B$ och en $A$ -modul $M$ , är följande ekvivalenta.

1. För varje $B$ -modul $X$ , $\operatorname {Tor} _{1}^{A}(X,M) =0.$
2. $M\otimes _{A}B$ är $B$ -platt och $\operatorname {Tor} _{1} ^{A}(B,M)=0.$

Dessutom, om $B=A/I$ , är de två ovanstående ekvivalenta med

3. $\operatorname {Tor} _{1}^{A}(X,M)=0$ för varje $A$ -modul $X$ dödad av någon kraft av $I$ .

Bevis : Ekvivalensen av de två första kan ses genom att studera Tor-spektralsekvensen. Här är ett direkt bevis: om 1. är giltig och $N\hookrightarrow N'$ är en injektion av $B$ -moduler med cokernel C , då, som A -moduler,

$\operatörsnamn {Tor} _{1}^{A}(C,M)=0\till N\otimes _ {A}M\to N'\otimes _{A}M$ .

Eftersom ${\displaystyle N\otimes _{A}M\simeq N\otimes _{B}(B\otimes _{A}N)} och samma$ för $N'$ , detta bevisar 2. Omvänt, med tanke på $0\to R\to F\to X\to 0$ där F är B -fri, får vi:

$\operatörsnamn {Tor} _{1}^{A}(F,M )=0\till \operatörsnamn {Tor} _{1}^{A}(X,M)\till R\otimes _{A}M\till F\otimes _{A}M$ .

Här är den sista kartan injektiv av planhet och det ger oss 1. För att se delen "Dessutom", om 1. är giltig, så är ${\ displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{A}(I^{n}X/I^{n+1}X,M)=0}$ och så

$\operatorname {Tor} _{1}^{A}(I^{n+ 1}X,M)\till \operatörsnamn {Tor} _{1}^{A}(I^{n}X,M)\till 0.$

Genom fallande induktion innebär detta 3. Det omvända är trivialt. $\square$

Lemma 2 — Låt $A$ vara en ring och $M$ en modul över den. Om $\operatorname {Tor} _{1}^{A}(A/I^{n},M)=0$ för varje ${\ displaystyle n>0}$ , sedan den naturliga graderingsbevarande surjection

$\operatorname {gr} _{I}(A)\otimes _{A_{0}}M_{0}\to \operatorname {gr} _ {JAG ÄR$

är en isomorfism. Dessutom, när jag är nilpotent,

$M$ är platt om och endast om $M_{0}$ är platt över $A_{0}$ och $\ operatornamn {gr} _{I}A\otimes _{A_{0}}M_{0}\to \operatorname {gr} _{I}M$ är en isomorfism.

Bevis : Antagandet innebär att $I^{n}\otimes M=I^{n}M$ och så, eftersom tensorprodukten pendlar med basförlängning,

$\operatörsnamn {gr} _{I}(A)\otimes _{A_{0}}M_{0}=\oplus _{0}^{\infty }(I^{n})_{0}\otimes _{A_{0 }}M_{0}=\oplus _{0}^{\infty }(I^{n}\otimes _{A}M)_{0}=\oplus _{0}^{\infty }(I ^{n}M)_{0}=\operatörsnamn {gr} _{I}M$ .

För den andra delen, låt $\alpha _{i}$ beteckna den exakta sekvensen $0\ till \operatörsnamn {Tor} _{1}^{A}(A/I^{i},M)\to I^{i}\otimes M\to I^{i}M\to 0$ och $\gamma _{i}:0\to 0\to I^{i}/I^{i +1}\otimes M{\overset {\simeq }{\to }}I^{i}M/I^{i+1}M\to 0$ . Tänk på den exakta sekvensen av komplex:

$\alpha _{i+1}\to \alpha _{i}\to \gamma _{i}.$

Sedan $\operatorname {Tor} _{1}^{A}(A/I^{i},M)=0,i>0$ (det är så för stora $i$ och använd sedan fallande induktion). 3. i Lemma 1 antyder då att $M$ är platt. $\square$

Bevis på huvudpåståendet .

$2.\Rightarrow 1.$ : Om $I$ är nilpotent, då, enligt Lemma 1, $\operatorname {Tor} _{1}^{A}(-,M)=0$ och $M$ är platt över $A$ . Antag därför att det första antagandet är giltigt. Låt ${\mathfrak {a}}\delmängd A$ vara ett ideal och vi ska visa ${\mathfrak {a}}\otimes M\to M$ är injektiv. För ett heltal $k>0$ , överväg den exakta sekvensen

$0\to {\mathfrak {a}}/(I^{k}\cap {\ mathfrak {a}})\to A/I^{k}\to A/({\mathfrak {a}}+I^{k})\to 0.$

Eftersom $\operatorname {Tor} _{1}^{A}(A/({\mathfrak {a}}+I^{k }),M)=0$ av Lemma 1 (notera $I^{k}$ dödar $A/({\mathfrak {a}}+I^{ k})$ ), genom att tensorera ovanstående med $M$ , får vi:

$0\to {\mathfrak {a}}/(I^{k}\cap {\mathfrak { a}})\otimes M\to A/I^{k}\otimes M=M/I^{k}M$ .

Tensoring $M$ med ${\displaystyle 0\to I^{k}\cap {\mathfrak {a}}\to {\mathfrak {a}}\to {\mathfrak {a}}/(I^{k}\cap {\mathfrak {a}})\to 0} ,$ vi har också:

$(I^{k}\cap {\mathfrak {a}})\otimes M {\overset {f}{\to }}{\mathfrak {a}}\otimes M{\overset {g}{\to }}{\mathfrak {a}}/(I^{k}\cap {\ mathfrak {a}})\ ibland M\ till 0.$

Vi kombinerar de två för att få den exakta sekvensen:

$(I^{k}\cap {\mathfrak {a}})\otimes M{\overset {f}{\to }}{\mathfrak {a}}\otimes M{\overset {g'} {\to }}M/I^{k}M.$

Nu, om $x$ är i kärnan av ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\otimes M\to M} ,$ så är a fortiori $x$ i $\operatörsnamn {ker} (g')=\operatörsnamn {im} (f)=(I^{k}\ cap {\mathfrak {a}})\otimes M$ . Genom Artin–Rees-lemmat , givet $n>0$ , kan vi hitta $k>0$ så att $I^{k}\cap {\mathfrak {a}}\subset I^{n}{\mathfrak {a}}$ . Eftersom ${\displaystyle \cap _{n\geq 1}I^{n}({\mathfrak {a}}\otimes M)=0} drar vi$ slutsatsen $x=0$ .

$1.\Rightarrow 4.$ följer av Lemma 2.

$4.\Rightarrow 3.$ : Eftersom $(A_{n})_{0}=A_{0}$ är villkoret 4 fortfarande giltigt med $M,A$ ersatt av $M_{n},A_{n}$ . Sedan säger Lemma 2 att $M_{n}$ är platt över $A_{n}$ .

$3.\Rightarrow 2.$ Tensoring $0\to I\to A\to A/I\to 0$ med M , vi ser $\operatorname {Tor} _{1}^{A}(A/I,M)$ är kärnan i $I\otimes M \till M$ . Således etableras implikationen av ett argument som liknar det för $2.\Rightarrow 1.$$\square$

Tillämpning: karakterisering av en etale morfism

Det lokala kriteriet kan användas för att bevisa följande:

Proposition — Med tanke på en morfism $f:X\to Y$ av finit typ mellan Noetherian-scheman, är $f$ étale ( platt och oförgrenad ) om och endast om för varje x i X , f är en analytiskt lokal isomorfism nära x ; dvs med $y=f(x)$ , ${\displaystyle {\widehat {f_{x}^{* }}}:{\widehat {{\mathcal {O}}_{y,Y}}}\to {\widehat {{\mathcal {O}}_{x,X}}}} är en isomorfism$ .

Bevis : Antag att ${\widehat {{\mathcal {O}}_{y,Y}}}\to {\widehat {{\mathcal {O}} _{x,X}}}$ är en isomorfism och vi visar f är étale. För det första, eftersom ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x}\to {\widehat {{\mathcal {O}}_{x}}}} är troget platt (i synnerhet$ är en ren subring), har vi:

${\mathfrak {m}}_{y}{\mathcal {O}}_{x}={\mathfrak {m}}_{y}{\widehat {{\mathcal {O}}_{x}}}\cap {\mathcal {O}}_{x} ={\widehat {{\mathfrak {m}}_{y}}}{\widehat {{\mathcal {O}}_{x}}}\cap {\mathcal {O}}_{x}={ \widehat {{\mathfrak {m}}_{x}}}\cap {\mathcal {O}}_{x}={\mathfrak {m}}_{x}$ .

Därför är $f$ oframifierad (separerbarheten är trivial). Nu, att ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{y}\to {\mathcal {O}}_{x}} är platt följer av (1) antagandet$ att den inducerade kartan på färdigställandet är platt och (2) det faktum att planheten sjunker under troget plan basförändring (det borde inte vara svårt att förstå (2)).

Därefter visar vi det omvända: med det lokala kriteriet, för varje n , den naturliga kartan ${\mathfrak {m}}_{ y}^{n}/{\mathfrak {m}}_{y}^{n+1}\to {\mathfrak {m}}_{x}^{n}/{\mathfrak {m}}_ {x}^{n+1}$ är en isomorfism. Genom induktion och de fem lemma innebär detta ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{y}/{\mathfrak {m}}_{y}^{ n}\to {\mathcal {O}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{n}} är$ en isomorfism för varje n . Övergår vi till gränsen får vi den påstådda isomorfismen. $\square$

Mumfords röda bok ger ett yttre bevis på ovanstående faktum (kap. III, § 5, sats 3).

Miracle flatness theorem

B. Conrad kallar nästa teorem för mirakelplanhetssatsen .

Sats — Låt $R\to S$ vara en lokal ringhomomorfism mellan lokala Noether-ringar. Om S är platt över R , då

$\dim S=\dim R+\dim S/{\mathfrak {m}}_{R}S$ .

Omvänt, om denna dimensionslikhet gäller, om R är regelbunden och om S är Cohen–Macaulay (t.ex. regelbunden), så är S platt över R .

Anteckningar

•    Matsumura, Hideyuki (1989), Kommutativ ringteori , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 8 (andra upplagan), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6 , MR 1011461
• Exposé IV av    Grothendieck, Alexander ; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1) , Documents Mathématiques (Paris) [Mathematical Documents (Paris)], vol. 3, Paris: Société Mathématique de France , arXiv : math/0206203 , Bibcode : 2002math......6203G , ISBN 978-2-85629-141-2 , MR 2017446
• Fujiwara, K.; Gabber, O.; Kato, F. (2011). "På Hausdorff kompletteringar av kommutativa ringar i stel geometri". Journal of Algebra (322): 293–321.

externa länkar

• blogginlägg av Akhil Mathew