Lokal parameter

I geometrin för komplexa algebraiska kurvor är en lokal parameter för en kurva C i en jämn punkt P en meromorf funktion på C som har en enkel nolla vid P. Detta koncept kan generaliseras till kurvor definierade över andra fält än $\mathbb {C}$ (eller scheman ), eftersom den lokala ringen vid en jämn punkt P av en algebraisk kurva C (definierad över ett algebraiskt stängt fält ) alltid är en diskret värderingsring . Denna värdering kommer att visa ett sätt att räkna ordningen (vid punkten P ) av rationella funktioner (som är naturliga generaliseringar för meromorfa funktioner i det icke-komplexa området) som har en nolla eller en pol vid P .

Lokala parametrar, som namnet indikerar, används huvudsakligen för att korrekt räkna multipliciteter på ett lokalt sätt.

Introduktion

Om C är en komplex algebraisk kurva, räkna multipliciteter av nollor och poler av meromorfa funktioner definierade på den. Men när man diskuterar kurvor definierade över andra fält än ${\displaystyle \mathbb {C} } ,$ om det inte finns tillgång till kraften i den komplexa analysen, måste en ersättare hittas för att definiera multipliciteter av nollor och poler av rationell funktioner definierade på sådana kurvor. I det sista fallet, säg att grodden till den vanliga funktionen $f$ försvinner vid $P\in C$ om $f\in m_{ P}\subset {\mathcal {O}}_{C,P}$ . Detta är i fullständig analogi med det komplexa fallet, i vilket det maximala idealet för den lokala ringen vid en punkt P faktiskt överensstämmer med groddarna av holomorfa funktioner som försvinner vid P .

Värderingsfunktionen på ${\mathcal {O}}_{C,P}$ ges av

$\operatorname {ord} _{P}(f)=\max\{d=0,1,2,\ldots :f\in m_{P}^{d}\};$

Denna värdering kan naturligtvis utökas till K ( C ) (vilket är fältet för rationella funktioner för C) eftersom det är fältet för bråkdelar av ${\mathcal {O}}_{C,P}$ . Därför är idén om att ha en enkel nolla i en punkt P nu komplett: det kommer att vara en rationell funktion $f\in K(C)$ så att dess grodd faller in i ${ \displaystyle m_{P}^{d}}$ , med d som högst 1.

Detta har en algebraisk likhet med begreppet en uniformiserande parameter (eller bara uniformizer ) som finns i kontexten av diskreta värderingsringar i kommutativ algebra ; en uniformiserande parameter för DVR:n ( R,m ) är bara en generator av den maximala ideala m . Länken kommer från det faktum att en lokal parameter vid P kommer att vara en enhetlig parameter för DVR:n ( $\displaystyle {\mathcal {O}}_{C,P}},$ m $\displaystyle m_{ P}}$ ), varifrån namnet.

Definition

Låt C vara en algebraisk kurva definierad över ett algebraiskt slutet fält K , och låt K ( C ) vara fältet för rationella funktioner för C. Värderingen på K ( C ) ${\ displaystyle \operatörsnamn {ord} _{P}(f/g)=\operatörsnamn {ord} _{P}(f)-\operatörsnamn {ord} _{P}(g)} , där ord P$ motsvarar en jämn punkt $P\in C$ definieras som ) { $\ operatornamn {ord} _{P}}$ är den vanliga värderingen på den lokala ringen ( ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{C,P}},$ P $displaystyle m_{P}}$ ). En lokal parameter för C vid P är en funktion $t\in K(C)$ så att $\operatorname {ord} _{P}( t)=1$ .