Lokal Tate-dualitet

I Galois cohomology är lokal Tate-dualitet (eller helt enkelt lokal dualitet ) en dualitet för Galois - moduler för den absoluta Galois-gruppen i ett icke-arkimediskt lokalt fält . Det är uppkallat efter John Tate som först bevisade det. Det visar att dual av en sådan Galois-modul är Tate-twist av vanlig linjär dual. Denna nya dual kallas ( lokal ) Tate-dual .

Lokal dualitet i kombination med Tates lokala Euler-formel ger en mångsidig uppsättning verktyg för att beräkna Galois-kohomologin för lokala fält.

Påstående

Låt K vara ett icke-arkimediskt lokalt fält, låt K ^s beteckna en separerbar stängning av K och låt G _K = Gal( K ^s / K ) vara den absoluta Galois-gruppen av K .

Fall av ändliga moduler

Beteckna med μ Galois-modulen för alla enhetsrötter i K ^s . Givet en finit G _K -modul A av ordningen prime till egenskapen för K , definieras Tate-dualen av A som

$A^{\prime }=\mathrm {Hom} (A,\mu )$

(dvs det är Tate-vridningen av det vanliga dubbla A ^∗ ). Låt H ⁱ ( K , A ) beteckna gruppkohomologin för G _K med koefficienter i A . Teoremet säger att parningen

$H^{i}(K,A)\ gånger H^{2- i}(K,A^{\prime })\högerpil H^{2}(K,\mu )=\mathbf {Q} /\mathbf {Z}$

given av koppprodukten sätter upp en dualitet mellan H ⁱ ( K , A ) och H ^{2− i} ( K , A ^′ ) för i = 0, 1, 2. Eftersom G _K har en kohomologisk dimension lika med två, är den högre kohomologin grupper försvinner.

Fall av p -adiska representationer

Låt p vara ett primtal . Låt Q _p (1) beteckna den p -adiska cyklotomiska karaktären hos G _K (dvs. Tate-modulen för μ). En p -adisk representation av G _K är en kontinuerlig representation

$\rho :G_{K}\rightarrow \mathrm {GL} (V)$

där V är ett ändligt dimensionellt vektorrum över de p-adiska talen Q _p och GL( V ) anger gruppen av inverterbara linjära kartor från V till sig själv. Tate-dual av V definieras som

$V^{\prime }=\mathrm {Hom} (V,\mathbf {Q} _{p}(1))$

(dvs det är Tate-vridningen av den vanliga dubbla V ^∗ = Hom( V , Q _p )). GK _I detta fall betecknar Hi ⁱ ( K , V ) den kontinuerliga gruppkohomologin för med koefficienter V. Lokal Tate-dualitet tillämpad på V säger att koppprodukten framkallar en parning

$H^{i}(K,V)\ gånger H^ {2-i}(K,V^{\prime })\högerpil H^{2}(K,\mathbf {Q} _{p}(1))=\mathbf {Q} _{p}$

vilket är en dualitet mellan H ⁱ ( K , V ) och H ^{2− i} ( K , V ′) för i = 0, 1, 2. Återigen försvinner de högre kohomologigrupperna.

Se även

• Tate duality , en global version (dvs. för globala fält )

Anteckningar

•    Rubin, Karl (2000), Euler systems , Hermann Weyl Lectures, Annals of Mathematics Studies, vol. 147, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05076-8 , MR 1749177
•    Serre, Jean-Pierre (2002), Galois cohomology , Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-42192-4 , MR 1867431 , översättning av Cohomologie Galoisienne , Springer-Verlag 5 (1964).