Cyklotomisk karaktär

I talteorin är en cyklotomisk karaktär en karaktär av en Galois-grupp som ger Galois- handlingen på en grupp av enhetsrötter . Som en endimensionell representation över en ring R betecknas dess representationsutrymme generellt med R (1) (det vill säga det är en representation χ : G → Aut _R ( R (1)) ≈ GL(1, R ) ) .

p -adisk cyklotomisk karaktär

Fixa p ett primtal och låt G _Q beteckna den absoluta Galois-gruppen av de rationella talen . Enhetens rötter

$$\mu _{p^{n}}=\left\{\zeta \in {\bar {\mathbf {Q} }} ^{\times }\mid \zeta ^{p^{n}}=1\right\}$$

bilda en cyklisk grupp av ordningen $p^{n}$ , genererad av valfritt val av en primitiv p ⁿ :te enhetsroten ζ _n .

Eftersom alla primitiva rötter i $\mu _{p^{n}}$ är Galois-konjugat, verkar Galois-gruppen $G_{\mathbf {Q} }$ på $\mu _{p^{n}}$ av automorfismer. Efter att ha fixerat en primitiv rot av enhet $\zeta _{p^{n}}$ genererar $\mu _{p^{n}}$ , vilket som helst element av ${ \displaystyle \mu _{p^{n}}}$ kan skrivas som en potens av $\zeta _{p^{n}}$ , där exponenten är ett unikt element i $(\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }$ . Man kan alltså skriva

$$\sigma .\zeta :=\sigma (\zeta )=\zeta _{p^{n}}^{a(\sigma ,n)}$$

där $a(\sigma ,n)\in (\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }$ är det unika elementet enligt ovan, beroende på både $\sigma$ och $p$ . Detta definierar en grupphomomorfism som kallas mod p ⁿ cyklotomisk karaktär :

$${\begin{aligned}{\chi _{p^{n}}}:G_{\mathbf {Q} }&\to (\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }\\\sigma &\mapsto a(\sigma ,n),\end{aligned} }$$

som ses som en karaktär eftersom handlingen motsvarar en homomorfism $\displaystyle G_{\ mathbf {Q} }\to \mathrm {Aut} (\mu _{p^{n}})\cong (\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }\ cong \mathrm {GL} _{1}(\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )}$ .

Genom att fixa $p$ och $\sigma$ och variera ${\displaystyle n} ,$$\displaystyle a(\sigma ,n)}$ ( ett kompatibelt system i den meningen att de ger ett element av den omvända gränsen

$$\varprojlim _{n}(\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }\ cong \mathbf {Z} _{p}^{\times },$$

enheterna i ringen av p-adiska heltal . Sålunda ${\chi _{p^{n}}}$ till en grupp homomorfism som kallas p -adisk cyklotomisk karaktär :

$${\begin{aligned}\chi _{p}:G_{\mathbf {Q } }&\to \mathbf {Z} _{p}^{\times }\cong \mathrm {GL_{1}} (\mathbf {Z} _{p})\\\sigma &\mapsto (a( \sigma ,n))_{n}\end{aligned}}$$

kodar åtgärden för $G_{\mathbf {Q} }$ på alla p -potensrötter av enhet $\mu _{p^{n}}$ samtidigt. I själva verket utrustar $G_{\mathbf {Q} }$ med Krull-topologin och $\mathbf {Z} _{p}$ med den p -adic- topologin gör detta till en kontinuerlig representation av en topologisk grupp.

Som ett kompatibelt system av ℓ -adic representationer

Genom att variera ℓ över alla primtal erhålls ett kompatibelt system av ℓ-adiska representationer från de ℓ -adiska cyklotomiska tecknen (när man överväger kompatibla representationssystem är standardterminologin att använda symbolen ℓ för att beteckna ett primtal istället för p ) . Det vill säga, χ = { χ _ℓ } _ℓ är en "familj" av ℓ -adiska representationer

$\chi _{\ell }:G_{\mathbf {Q} }\rightarrow \operatörsnamn {GL} _{1}(\mathbf {Z} _ {\ell })$

uppfyller vissa kompatibiliteter mellan olika primtal. Faktum är att χ _ℓ bildar ett strikt kompatibelt system av ℓ-adiska representationer .

Geometriska realiseringar

Den p -adic-cyklotomiska karaktären är den p -adic- Tate Gm _{- , Q} modulen i det multiplikativa gruppschemat över Q. Som sådan kan dess representationsutrymme ses som den omvända gränsen för grupperna av p ⁿ :te enhetsrötter i Q.

När det gäller kohomologi är den p -adic- cyklotomiska karaktären dualen av den första p - adic étale kohomologigruppen av Gm _. Det kan också hittas i étale-kohomologin för en projektiv varietet , nämligen den projektiva linjen : det är dual av H ² _ét ( P ¹ ) .

När det gäller motiv är den p -adiska cyklotomiska karaktären den p -adiska realiseringen av Tate-motivet Z (1) . Som ett Grothendieck-motiv är Tate-motivet dualen av H ² ( P ¹ ) .

Egenskaper

Den p -adiska cyklotomiska karaktären uppfyller flera fina egenskaper.

• Den är oframifierad vid alla primtal ℓ ≠ p (dvs. tröghetsundergruppen vid ℓ verkar trivialt).
• Om Frob _ℓ är ett Frobenius-element för ℓ ≠ p , så är χ _p (Frob _ℓ ) = ℓ
• Den är kristallin vid sid .

Se även

• Tate twist