Lobachevsky integral formel

I matematik spelar Dirichlet-integraler en viktig roll i distributionsteorin . Vi kan se Dirichlet-integralen i termer av distributioner.

En av dessa är den felaktiga integralen av sinc-funktionen över den positiva reallinjen,

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{2 }x}{x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.$

Lobachevskys Dirichlet-integralformel

Låt $f(x)$ vara en kontinuerlig funktion som uppfyller $\pi$ -periodiska antagandet $f(x+\pi )= f(x)$ , och $f(\pi -x)=f(x)$ , för $0\leq x<\infty$ . Om integralen $\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}f(x)\,dx$ är anses vara en felaktig Riemann-integral , vi har Lobachevskys Dirichlet- integralformel

$\int _{0}^{\ infty }{\frac {\sin ^{2}x}{x^{2}}}f(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{ x}}f(x)\,dx=\int _{0}^{\pi /2}f(x)\,dx$

Dessutom har vi följande identitet som en förlängning av Lobachevsky Dirichlets integralformel

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{4}x}{x^{4}}}f(x)\,dx=\int _{0}^{ \pi /2}f(t)\,dt-{\frac {2}{3}}\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2}tf(t)\,dt.$

Som en applikation, ta $f(x)=1$ . Sedan

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{4}x}{x^{4}}}\,dx={\frac {\pi }{3}}.$

•   Hardy, GH , Integralen $\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\ frac {\pi }{2}},$ The Mathematical Gazette , Vol. 5, nr 80 (juni–juli 1909), s. 98–103 JSTOR 3602798
•   Dixon, AC , Proof That $\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\ frac {\pi }{2}},$ The Mathematical Gazette , Vol. 6, nr 96 (januari 1912), s. 223–224. JSTOR 3604314