Littlewood-Paley teori

Inom harmonisk analys , ett fält inom matematik, är Littlewood–Paley-teorin ett teoretiskt ramverk som används för att utöka vissa resultat om L ² -funktioner till L ^p -funktioner för 1 < p < ∞. Det används vanligtvis som ett substitut för ortogonalitetsargument som endast gäller för L ^p -funktioner när p = 2. En implementering involverar att studera en funktion genom att dekomponera den i termer av funktioner med lokaliserade frekvenser, och använda Littlewood–Paley g -funktionen för att jämföra den med sin Poisson-integral. 1-variabelfallet skapades av JE Littlewood och R. Paley ( 1931 , 1937 , 1938 ) och utvecklades vidare av de polska matematikerna A. Zygmund och J. Marcinkiewicz på 1930-talet med hjälp av komplex funktionsteori ( Zygmund 2002 , kapitel XIV, XV) . EM Stein utökade senare teorin till högre dimensioner med hjälp av verkliga variabla tekniker.

Den dyadiska nedbrytningen av en funktion

Littlewood–Paley-teorin använder en nedbrytning av en funktion f till en summa av funktioner f _ρ med lokaliserade frekvenser. Det finns flera sätt att konstruera en sådan nedbrytning; en typisk metod är följande.

Om f(x) är en funktion på R , och ρ är en mätbar mängd (i frekvensutrymmet) med karakteristisk funktion $\chi _{\rho }(\xi )$ , då f _ρ definieras via sin Fouriertransform

${\hat {f}}_{\rho }:=\chi _{\rho }{\hat {f}}$ .

Informellt är f _ρ den bit av f vars frekvenser ligger i ρ .

Om Δ är en samling av mätbara mängder som (upp till måttet 0) är disjunkta och har union på den reella linjen, så kan en väluppförd funktion f skrivas som summan av funktioner f _ρ för ρ ∈ Δ.

När Δ består av formens mängder

$\rho =[-2^{k+1},-2^{k}]\cup [2^{k},2^{k+1}].$

  för k ett heltal ger detta en så kallad "dyadisk nedbrytning" av f : Σ _ρ f _ρ .

Det finns många varianter av denna konstruktion; till exempel kan den karakteristiska funktionen för en mängd som används i definitionen av f _ρ ersättas med en jämnare funktion.

En nyckeluppskattning av Littlewood-Paley-teorin är Littlewood-Paley-satsen, som begränsar storleken på funktionerna f _ρ i termer av storleken på f . Det finns många versioner av denna sats som motsvarar de olika sätten att sönderdela f . En typisk uppskattning är att binda L ^p -normen för (Σ _ρ | f _ρ | ² ) ^1/2 med en multipel av L ^p -normen för f .

I högre dimensioner är det möjligt att generalisera denna konstruktion genom att ersätta intervall med rektanglar med sidor parallella med koordinataxlarna. Tyvärr är dessa ganska speciella set, vilket begränsar applikationerna till högre dimensioner.

Littlewood–Paley g -funktionen

g - funktionen är en icke-linjär operator på L ^p ( Rn ) som kan användas för att styra ^L p ^- normen för en funktion f i termer av dess Poisson-integral . Poissonintegralen u ( x , y ) för f definieras för y > 0 av

$u(x,y)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}P_{y }(t)f(xt)\,dt$

där Poissonkärnan P på den övre halvan $\{(y;x)\in \mathbf {R} ^{n+1}\mid y>0\}$ ges av

$P_{y}(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi it\cdot x-2\pi |t|y}\,dt={ \frac {\Gamma ((n+1)/2)}{\pi ^{(n+1)/2}}}{\frac {y}{(|x|^{2}+y^{2 })^{(n+1)/2}}}.$

Littlewood–Paley g -funktionen g ( f ) definieras av

$g(f)(x)=\left(\int _{0}^{ \infty }|\nabla u(x,y)|^{2}y\,dy\right)^{1/2}$

En grundläggande egenskap hos g är att den ungefär bevarar normer. Närmare bestämt, för 1 < p < ∞, är förhållandet mellan L ^p -normerna för f och g ( f ) begränsat över och under av fixerade positiva konstanter beroende på n och p men inte på f .

Ansökningar

En tidig tillämpning av Littlewood–Paley-teorin var beviset att om S _n är partialsummorna av Fourierserien av en periodisk L ^p -funktion ( p > 1) och n _j är en sekvens som uppfyller n _{j +1} / n _j > q för vissa fasta q > 1, då konvergerar sekvensen S _{n j} nästan överallt. Detta ersattes senare av Carleson-Hunt-satsen som visar att S _n själv konvergerar nästan överallt.

Littlewood–Paley-teorin kan också användas för att bevisa Marcinkiewicz multiplikatorsats .

•    Coifman, RR; Weiss, Guido (1978), "Book Review: Littlewood-Paley and multiplier theory" , Bulletin of the American Mathematical Society , 84 ( 2): 242–250, doi : 10.1090/S0002-9904-1978-14464-4 , ISSN 0002-9904 , MR 1567040
•    Edwards, RE; Gaudry, GI (1977), Littlewood-Paley and multiplikator theory , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-07726-8 , MR 0618663
•    Frazier, Michael; Jawerth, Björn; Weiss, Guido (1991), Littlewood-Paley theory and the study of function spaces , CBMS Regional Conference Series in Mathematics, vol. 79, publicerad för Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC, doi : 10.1090/cbms/079 , ISBN 978-0-8218-0731-6 , MR 1107300
• Littlewood, JE; Paley, REAC (1931), "Theorems on Fourier Series and Power Series", J. London Math. Soc. , 6 (3): 230–233, doi : 10.1112/jlms/s1-6.3.230
• Littlewood, JE; Paley, REAC (1937), "Theorems on Fourier Series and Power Series (II)", Proc. London Math. Soc. , 42 (1): 52–89, doi : 10.1112/plms/s2-42.1.52
• Littlewood, JE; Paley, REAC (1938), "Theorems on Fourier Series and Power Series (III)", Proc. London Math. Soc. , 43 (2): 105–126, doi : 10.1112/plms/s2-43.2.105
•   Stein, Elias M. (1970), Ämnen i harmonisk analys relaterade till Littlewood-Paley-teorin. , Annals of Mathematics Studies, No. 63, Princeton University Press , MR 0252961
•    Zygmund, A. (2002) [1935], Trigonometrisk serie. Vol. I, II , Cambridge Mathematical Library (3:e upplagan), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-89053-3 , MR 1963498