Standard normalt bord

En standardnormaltabell , även kallad enhetsnormaltabell eller Z-tabell , är en matematisk tabell för värdena på Φ, som är värdena för normalfördelningens kumulativa fördelningsfunktion . Den används för att hitta sannolikheten för att en statistik observeras under, ovanför eller mellan värden på standardnormalfördelningen , och i förlängningen, eventuell normalfördelning . Eftersom sannolikhetstabeller inte kan skrivas ut för varje normalfördelning, eftersom det finns en oändlig variation av normalfördelningar, är det vanligt att konvertera en normal till en standardnormal och sedan använda standardnormaltabellen för att hitta sannolikheter.

Normal och standard normalfördelning

standard Normalfördelningar är symmetriska, klockformade fördelningar som är användbara för att beskriva verkliga data. Standardnormalfördelningen , representerad av bokstaven Z, är normalfördelningen med medelvärdet mean of 0 and a standard deviation of 1.

Omvandling

Huvudartikel: Standard normalavvikelse

Om X är en slumpvariabel från en normalfördelning med medelvärde μ och standardavvikelse σ, kan dess Z-poäng beräknas från X genom att subtrahera μ och dividera med standardavvikelsen:

$Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}$

Om ${\overline {X}}$ är medelvärdet av ett urval av storlek n från någon population där medelvärdet är μ och standardavvikelsen är σ , är standardfelet σ /√ n :

$Z={\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}$

Om ${\textstyle \summa X}$ är summan av ett urval av storlek n från någon population där medelvärdet är μ och standardavvikelsen är σ, är den förväntade summan nμ och standardfelet är σ √ n :

$Z={\frac {\sum {X}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}$

Läser en Z-tabell

Formatering / layout

Z-tabeller är vanligtvis sammansatta enligt följande:

• Etiketten för rader innehåller heltalsdelen och den första decimalen för Z.
• Etiketten för kolumner innehåller den andra decimalen av Z.
• Värdena i tabellen är de sannolikheter som motsvarar tabelltypen. Dessa sannolikheter är beräkningar av arean under normalkurvan från startpunkten (0 för kumulativ från medelvärde , negativ oändlighet för kumulativ och positiv oändlighet för komplementär kumulativ ) till Z.

Exempel: För att hitta 0,69 skulle man titta ner i raderna för att hitta 0,6 och sedan över kolumnerna till 0,09 vilket skulle ge en sannolikhet på 0,25490 för en kumulativ tabell från medelvärde eller 0,75490 från en kumulativ tabell.

För att hitta ett negativt värde som -0,83 , kan man använda en kumulativ tabell för negativa z-värden som ger en sannolikhet på 0,20327 .

Men eftersom normalfördelningskurvan är symmetrisk, ges vanligtvis sannolikheter för endast positiva värden på Z. Användaren kan behöva använda en kompletterande operation på det absoluta värdet av Z, som i exemplet nedan.

Typer av tabeller

Z-tabeller använder minst tre olika konventioner:

Kumulativt från medelvärde

ger en sannolikhet att en statistik är mellan 0 (medelvärde) och Z. Exempel: Sannolikhet(0 ≤ Z ≤ 0,69) = 0,2549 .

Kumulativ

ger en sannolikhet att en statistik är mindre än Z. Detta motsvarar arean av fördelningen under Z. Exempel: Sannolikt(Z ≤ 0,69) = 0,7549 .

Komplementär kumulativ

ger en sannolikhet att en statistik är större än Z. Detta motsvarar arean av fördelningen ovanför Z .

Exempel: Hitta Prob( Z ≥ 0,69). Eftersom detta är delen av området ovanför Z, hittas andelen som är större än Z genom att subtrahera Z från 1. Det är Sannolikt ( Z ≥ 0,69) = 1 − Sannolikt(Z ≤ 0,69) eller Sannolikt( Z ≥ 0,69) = 1 − 0,7549 = 0,2451 .

Tabellexempel

Kumulativ från minus oändlighet till Ö

Värdena motsvarar det skuggade området för givet Z

Denna tabell ger en sannolikhet att en statistik är mellan minus oändlighet och Z.

$f(z)=\Phi (z)$

Värdena beräknas med den kumulativa fördelningsfunktionen för en standardnormalfördelning med medelvärde av noll och standardavvikelse på ett, vanligtvis betecknad med den grekiska stora bokstaven $\Phi$ ( phi ), är integralen

$\Phi (z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{- \infty }^{z}e^{-t^{2}/2}\,dt$

$\Phi$ (z) är relaterad till felfunktionen , eller erf( z ).

$\Phi (z)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatörsnamn {erf} \left({ \frac {z}{\sqrt {2}}}\right)\right]$

Observera att för z = 1, 2, 3 får man (efter att ha multiplicerat med 2 för att ta hänsyn till [− z , z ]-intervallet) resultaten f ( z ) = 0,6827, 0,9545, 0,9974, karakteristiskt för 68–95– 99,7 regel .

Kumulativ (mindre än Z)

Denna tabell ger en sannolikhet att en statistik är mindre än Z (dvs. mellan negativ oändlighet och Z).

z	− 0,00	− 0,01	− 0,02	− 0,03	− 0,04	− 0,05	− 0,06	− 0,07	− 0,08	− 0,09
-4,0	0,00003	0,00003	0,00003	0,00003	0,00003	0,00003	0,00002	0,00002	0,00002	0,00002
-3.9	0,00005	0,00005	0,00004	0,00004	0,00004	0,00004	0,00004	0,00004	0,00003	0,00003
-3.8	0,00007	0,00007	0,00007	0,00006	0,00006	0,00006	0,00006	0,00005	0,00005	0,00005
-3.7	0,00011	0,00010	0,00010	0,00010	0,00009	0,00009	0,00008	0,00008	0,00008	0,00008
-3.6	0,00016	0,00015	0,00015	0,00014	0,00014	0,00013	0,00013	0,00012	0,00012	0,00011
-3,5	0,00023	0,00022	0,00022	0,00021	0,00020	0,00019	0,00019	0,00018	0,00017	0,00017
-3.4	0,00034	0,00032	0,00031	0,00030	0,00029	0,00028	0,00027	0,00026	0,00025	0,00024
-3.3	0,00048	0,00047	0,00045	0,00043	0,00042	0,00040	0,00039	0,00038	0,00036	0,00035
-3.2	0,00069	0,00066	0,00064	0,00062	0,00060	0,00058	0,00056	0,00054	0,00052	0,00050
-3.1	0,00097	0,00094	0,00090	0,00087	0,00084	0,00082	0,00079	0,00076	0,00074	0,00071
-3,0	0,00135	0,00131	0,00126	0,00122	0,00118	0,00114	0,00111	0,00107	0,00104	0,00100
-2.9	0,00187	0,00181	0,00175	0,00169	0,00164	0,00159	0,00154	0,00149	0,00144	0,00139
-2.8	0,00256	0,00248	0,00240	0,00233	0,00226	0,00219	0,00212	0,00205	0,00199	0,00193
-2.7	0,00347	0,00336	0,00326	0,00317	0,00307	0,00298	0,00289	0,00280	0,00272	0,00264
-2.6	0,00466	0,00453	0,00440	0,00427	0,00415	0,00402	0,00391	0,00379	0,00368	0,00357
-2,5	0,00621	0,00604	0,00587	0,00570	0,00554	0,00539	0,00523	0,00508	0,00494	0,00480
-2.4	0,00820	0,00798	0,00776	0,00755	0,00734	0,00714	0,00695	0,00676	0,00657	0,00639
-2.3	0,01072	0,01044	0,01017	0,00990	0,00964	0,00939	0,00914	0,00889	0,00866	0,00842
-2.2	0,01390	0,01355	0,01321	0,01287	0,01255	0,01222	0,01191	0,01160	0,01130	0,01101
-2.1	0,01786	0,01743	0,01700	0,01659	0,01618	0,01578	0,01539	0,01500	0,01463	0,01426
-2,0	0,02275	0,02222	0,02169	0,02118	0,02068	0,02018	0,01970	0,01923	0,01876	0,01831
-1.9	0,02872	0,02807	0,02743	0,02680	0,02619	0,02559	0,02500	0,02442	0,02385	0,02330
-1.8	0,03593	0,03515	0,03438	0,03362	0,03288	0,03216	0,03144	0,03074	0,03005	0,02938
-1.7	0,04457	0,04363	0,04272	0,04182	0,04093	0,04006	0,03920	0,03836	0,03754	0,03673
-1.6	0,05480	0,05370	0,05262	0,05155	0,05050	0,04947	0,04846	0,04746	0,04648	0,04551
-1,5	0,06681	0,06552	0,06426	0,06301	0,06178	0,06057	0,05938	0,05821	0,05705	0,05592
-1.4	0,08076	0,07927	0,07780	0,07636	0,07493	0,07353	0,07215	0,07078	0,06944	0,06811
-1.3	0,09680	0,09510	0,09342	0,09176	0,09012	0,08851	0,08692	0,08534	0,08379	0,08226
-1.2	0,11507	0,11314	0,11123	0,10935	0,10749	0,10565	0,10383	0,10204	0,10027	0,09853
-1.1	0,13567	0,13350	0,13136	0,12924	0,12714	0,12507	0,12302	0,12100	0,11900	0,11702
-1,0	0,15866	0,15625	0,15386	0,15151	0,14917	0,14686	0,14457	0,14231	0,14007	0,13786
-0,9	0,18406	0,18141	0,17879	0,17619	0,17361	0,17106	0,16853	0,16602	0,16354	0,16109
-0,8	0,21186	0,20897	0,20611	0,20327	0,20045	0,19766	0,19489	0,19215	0,18943	0,18673
-0,7	0,24196	0,23885	0,23576	0,23270	0,22965	0,22663	0,22363	0,22065	0,21770	0,21476
-0,6	0,27425	0,27093	0,26763	0,26435	0,26109	0,25785	0,25463	0,25143	0,24825	0,24510
-0,5	0,30854	0,30503	0,30153	0,29806	0,29460	0,29116	0,28774	0,28434	0,28096	0,27760
-0,4	0,34458	0,34090	0,33724	0,33360	0,32997	0,32636	0,32276	0,31918	0,31561	0,31207
-0,3	0,38209	0,37828	0,37448	0,37070	0,36693	0,36317	0,35942	0,35569	0,35197	0,34827
-0,2	0,42074	0,41683	0,41294	0,40905	0,40517	0,40129	0,39743	0,39358	0,38974	0,38591
-0,1	0,46017	0,45620	0,45224	0,44828	0,44433	0,44038	0,43644	0,43251	0,42858	0,42465
-0,0	0,50000	0,49601	0,49202	0,48803	0,48405	0,48006	0,47608	0,47210	0,46812	0,46414
z	− 0,00	− 0,01	− 0,02	− 0,03	− 0,04	− 0,05	− 0,06	− 0,07	− 0,08	− 0,09

z	+ 0,00	+ 0,01	+ 0,02	+ 0,03	+ 0,04	+ 0,05	+ 0,06	+ 0,07	+ 0,08	+ 0,09
0,0	0,50000	0,50399	0,50798	0,51197	0,51595	0,51994	0,52392	0,52790	0,53188	0,53586
0,1	0,53983	0,54380	0,54776	0,55172	0,55567	0,55962	0,56360	0,56749	0,57142	0,57535
0,2	0,57926	0,58317	0,58706	0,59095	0,59483	0,59871	0,60257	0,60642	0,61026	0,61409
0,3	0,61791	0,62172	0,62552	0,62930	0,63307	0,63683	0,64058	0,64431	0,64803	0,65173
0,4	0,65542	0,65910	0,66276	0,66640	0,67003	0,67364	0,67724	0,68082	0,68439	0,68793
0,5	0,69146	0,69497	0,69847	0,70194	0,70540	0,70884	0,71226	0,71566	0,71904	0,72240
0,6	0,72575	0,72907	0,73237	0,73565	0,73891	0,74215	0,74537	0,74857	0,75175	0,75490
0,7	0,75804	0,76115	0,76424	0,76730	0,77035	0,77337	0,77637	0,77935	0,78230	0,78524
0,8	0,78814	0,79103	0,79389	0,79673	0,79955	0,80234	0,80511	0,80785	0,81057	0,81327
0,9	0,81594	0,81859	0,82121	0,82381	0,82639	0,82894	0,83147	0,83398	0,83646	0,83891
1.0	0,84134	0,84375	0,84614	0,84849	0,85083	0,85314	0,85543	0,85769	0,85993	0,86214
1.1	0,86433	0,86650	0,86864	0,87076	0,87286	0,87493	0,87698	0,87900	0,88100	0,88298
1.2	0,88493	0,88686	0,88877	0,89065	0,89251	0,89435	0,89617	0,89796	0,89973	0,90147
1.3	0,90320	0,90490	0,90658	0,90824	0,90988	0,91149	0,91308	0,91466	0,91621	0,91774
1.4	0,91924	0,92073	0,92220	0,92364	0,92507	0,92647	0,92785	0,92922	0,93056	0,93189
1.5	0,93319	0,93448	0,93574	0,93699	0,93822	0,93943	0,94062	0,94179	0,94295	0,94408
1.6	0,94520	0,94630	0,94738	0,94845	0,94950	0,95053	0,95154	0,95254	0,95352	0,95449
1.7	0,95543	0,95637	0,95728	0,95818	0,95907	0,95994	0,96080	0,96164	0,96246	0,96327
1.8	0,96407	0,96485	0,96562	0,96638	0,96712	0,96784	0,96856	0,96926	0,96995	0,97062
1.9	0,97128	0,97193	0,97257	0,97320	0,97381	0,97441	0,97500	0,97558	0,97615	0,97670
2.0	0,97725	0,97778	0,97831	0,97882	0,97932	0,97982	0,98030	0,98077	0,98124	0,98169
2.1	0,98214	0,98257	0,98300	0,98341	0,98382	0,98422	0,98461	0,98500	0,98537	0,98574
2.2	0,98610	0,98645	0,98679	0,98713	0,98745	0,98778	0,98809	0,98840	0,98870	0,98899
2.3	0,98928	0,98956	0,98983	0,99010	0,99036	0,99061	0,99086	0,99111	0,99134	0,99158
2.4	0,99180	0,99202	0,99224	0,99245	0,99266	0,99286	0,99305	0,99324	0,99343	0,99361
2.5	0,99379	0,99396	0,99413	0,99430	0,99446	0,99461	0,99477	0,99492	0,99506	0,99520
2.6	0,99534	0,99547	0,99560	0,99573	0,99585	0,99598	0,99609	0,99621	0,99632	0,99643
2.7	0,99653	0,99664	0,99674	0,99683	0,99693	0,99702	0,99711	0,99720	0,99728	0,99736
2.8	0,99744	0,99752	0,99760	0,99767	0,99774	0,99781	0,99788	0,99795	0,99801	0,99807
2.9	0,99813	0,99819	0,99825	0,99831	0,99836	0,99841	0,99846	0,99851	0,99856	0,99861
3.0	0,99865	0,99869	0,99874	0,99878	0,99882	0,99886	0,99889	0,99893	0,99896	0,99900
3.1	0,99903	0,99906	0,99910	0,99913	0,99916	0,99918	0,99921	0,99924	0,99926	0,99929
3.2	0,99931	0,99934	0,99936	0,99938	0,99940	0,99942	0,99944	0,99946	0,99948	0,99950
3.3	0,99952	0,99953	0,99955	0,99957	0,99958	0,99960	0,99961	0,99962	0,99964	0,99965
3.4	0,99966	0,99968	0,99969	0,99970	0,99971	0,99972	0,99973	0,99974	0,99975	0,99976
3.5	0,99977	0,99978	0,99978	0,99979	0,99980	0,99981	0,99981	0,99982	0,99983	0,99983
3.6	0,99984	0,99985	0,99985	0,99986	0,99986	0,99987	0,99987	0,99988	0,99988	0,99989
3.7	0,99989	0,99990	0,99990	0,99990	0,99991	0,99991	0,99992	0,99992	0,99992	0,99992
3.8	0,99993	0,99993	0,99993	0,99994	0,99994	0,99994	0,99994	0,99995	0,99995	0,99995
3.9	0,99995	0,99995	0,99996	0,99996	0,99996	0,99996	0,99996	0,99996	0,99997	0,99997
4.0	0,99997	0,99997	0,99997	0,99997	0,99997	0,99997	0,99998	0,99998	0,99998	0,99998
z	+ 0,00	+ 0,01	+ 0,02	+ 0,03	+ 0,04	+ 0,05	+ 0,06	+ 0,07	+ 0,08	+ 0,09

Kompletterande kumulativ

Denna tabell ger en sannolikhet att en statistik är större än Z.

$f(z)=1-\Phi (z)$

z	+0,00	+0,01	+0,02	+0,03	+0,04		+0,05	+0,06	+0,07	+0,08	+0,09
0,0	0,50000	0,49601	0,49202	0,48803	0,48405		0,48006	0,47608	0,47210	0,46812	0,46414
0,1	0,46017	0,45620	0,45224	0,44828	0,44433		0,44038	0,43640	0,43251	0,42858	0,42465
0,2	0,42074	0,41683	0,41294	0,40905	0,40517		0,40129	0,39743	0,39358	0,38974	0,38591
0,3	0,38209	0,37828	0,37448	0,37070	0,36693		0,36317	0,35942	0,35569	0,35197	0,34827
0,4	0,34458	0,34090	0,33724	0,33360	0,32997		0,32636	0,32276	0,31918	0,31561	0,31207
0,5	0,30854	0,30503	0,30153	0,29806	0,29460	0,29116	0,28774	0,28434	0,28096	0,27760
0,6	0,27425	0,27093	0,26763	0,26435	0,26109	0,25785	0,25463	0,25143	0,24825	0,24510
0,7	0,24196	0,23885	0,23576	0,23270	0,22965	0,22663	0,22363	0,22065	0,21770	0,21476
0,8	0,21186	0,20897	0,20611	0,20327	0,20045	0,19766	0,19489	0,19215	0,18943	0,18673
0,9	0,18406	0,18141	0,17879	0,17619	0,17361	0,17106	0,16853	0,16602	0,16354	0,16109
1.0	0,15866	0,15625	0,15386	0,15151	0,14917	0,14686	0,14457	0,14231	0,14007	0,13786
1.1	0,13567	0,13350	0,13136	0,12924	0,12714	0,12507	0,12302	0,12100	0,11900	0,11702
1.2	0,11507	0,11314	0,11123	0,10935	0,10749	0,10565	0,10383	0,10204	0,10027	0,09853
1.3	0,09680	0,09510	0,09342	0,09176	0,09012	0,08851	0,08692	0,08534	0,08379	0,08226
1.4	0,08076	0,07927	0,07780	0,07636	0,07493	0,07353	0,07215	0,07078	0,06944	0,06811
1.5	0,06681	0,06552	0,06426	0,06301	0,06178	0,06057	0,05938	0,05821	0,05705	0,05592
1.6	0,05480	0,05370	0,05262	0,05155	0,05050	0,04947	0,04846	0,04746	0,04648	0,04551
1.7	0,04457	0,04363	0,04272	0,04182	0,04093	0,04006	0,03920	0,03836	0,03754	0,03673
1.8	0,03593	0,03515	0,03438	0,03362	0,03288	0,03216	0,03144	0,03074	0,03005	0,02938
1.9	0,02872	0,02807	0,02743	0,02680	0,02619	0,02559	0,02500	0,02442	0,02385	0,02330
2.0	0,02275	0,02222	0,02169	0,02118	0,02068	0,02018	0,01970	0,01923	0,01876	0,01831
2.1	0,01786	0,01743	0,01700	0,01659	0,01618	0,01578	0,01539	0,01500	0,01463	0,01426
2.2	0,01390	0,01355	0,01321	0,01287	0,01255	0,01222	0,01191	0,01160	0,01130	0,01101
2.3	0,01072	0,01044	0,01017	0,00990	0,00964	0,00939	0,00914	0,00889	0,00866	0,00842
2.4	0,00820	0,00798	0,00776	0,00755	0,00734	0,00714	0,00695	0,00676	0,00657	0,00639
2.5	0,00621	0,00604	0,00587	0,00570	0,00554	0,00539	0,00523	0,00508	0,00494	0,00480
2.6	0,00466	0,00453	0,00440	0,00427	0,00415	0,00402	0,00391	0,00379	0,00368	0,00357
2.7	0,00347	0,00336	0,00326	0,00317	0,00307	0,00298	0,00289	0,00280	0,00272	0,00264
2.8	0,00256	0,00248	0,00240	0,00233	0,00226	0,00219	0,00212	0,00205	0,00199	0,00193
2.9	0,00187	0,00181	0,00175	0,00169	0,00164	0,00159	0,00154	0,00149	0,00144	0,00139
3.0	0,00135	0,00131	0,00126	0,00122	0,00118	0,00114	0,00111	0,00107	0,00104	0,00100
3.1	0,00097	0,00094	0,00090	0,00087	0,00084	0,00082	0,00079	0,00076	0,00074	0,00071
3.2	0,00069	0,00066	0,00064	0,00062	0,00060	0,00058	0,00056	0,00054	0,00052	0,00050
3.3	0,00048	0,00047	0,00045	0,00043	0,00042	0,00040	0,00039	0,00038	0,00036	0,00035
3.4	0,00034	0,00032	0,00031	0,00030	0,00029	0,00028	0,00027	0,00026	0,00025	0,00024
3.5	0,00023	0,00022	0,00022	0,00021	0,00020	0,00019	0,00019	0,00018	0,00017	0,00017
3.6	0,00016	0,00015	0,00015	0,00014	0,00014	0,00013	0,00013	0,00012	0,00012	0,00011
3.7	0,00011	0,00010	0,00010	0,00010	0,00009	0,00009	0,00008	0,00008	0,00008	0,00008
3.8	0,00007	0,00007	0,00007	0,00006	0,00006	0,00006	0,00006	0,00005	0,00005	0,00005
3.9	0,00005	0,00005	0,00004	0,00004	0,00004	0,00004	0,00004	0,00004	0,00003	0,00003
4.0	0,00003	0,00003	0,00003	0,00003	0,00003	0,00003	0,00002	0,00002	0,00002	0,00002

Denna tabell ger en sannolikhet att en statistik är större än Z, för stora heltals Z-värden.

z	+0	+1	+2	+3	+4		+5	+6	+7	+8	+9
0	5.00000 E -1	1,58655 E -1	2,27501 E -2	1,34990 E -3	3,16712 E -5		2,86652 E -7	9,86588 E -10	1,27981 E -12	6,22096 E -16	1,12859 E -19
10	7,61985 E -24	1,91066 E -28	1,77648 E -33	6,11716 E -39	7,79354 E -45		3,67097 E -51	6,38875 E -58	4,10600 E -65	9,74095 E -73	8,52722 E -81
20	2,75362 E -89	3,27928 E -98	1,43989 E -107	2,33064 E -117	1,39039 E -127		3,05670 E -138	2,47606 E -149	7,38948 E -161	8,12387 E -173	3,28979 E -185
30	4,90671 E -198	2,69525 E -211	5,45208 E -225	4,06119 E -239	1,11390 E -253		1,12491 E -268	4,18262 E -284	5,72557 E -300	2,88543 E -316	5,35312 E -333
40	3,65589 E -350	9,19086 E -368	8,50515 E -386	2,89707 E -404	3,63224 E -423		1,67618 E -442	2,84699 E -462	1,77976 E -482	4,09484 E -503	3,46743 E -524
50	1,08060 E -545	1,23937 E -567	5,23127 E -590	8.12606 E -613	4,64529 E -636		9,77237 E -660	7,56547 E -684	2,15534 E -708	2,25962 E -733	8,71741 E -759
60	1,23757 E -784	6.46517 E -811	1,24283 E -837	8,79146 E -865	2,28836 E -892		2,19180 E -920	7,72476 E -949	1,00178 E -977	4,78041 E -1007	8,39374 E -1037
70	5,42304 E -1067	1,28921 E -1097	1,12771 E -1128	3,62960 E -1160	4,29841 E -1192		1,87302 E -1224	3,00302 E -1257	1,77155 E -1290	3,84530 E -1324	3,07102 E -1358

Exempel på användning

En professors provresultat är ungefär normalfördelade med medelvärde 80 och standardavvikelse 5. Endast en ackumulerad medeltabell finns tillgänglig.

• Vad är sannolikheten att en elev får 82 eller lägre?
  $$P(X\leq 82)=P\left(Z\leq {\frac {82-80}{5}}\right)=P(Z\leq 0,40)=0,15542+0,5=0,65542$$
• Vad är sannolikheten att en elev får 90 eller mer?
  $$P(X skärm 90)=P\left(Z\geq {\frac {90-80}{5}}\right)=P(Z\geq 2.00)=1-P(Z\leq 2.00)=1-(0.47725+0.5 )=0,02275}$$
• Vad är sannolikheten att en elev får 74 eller lägre?
  $$P(X\leq 74)=P\left(Z\leq {\frac {74-80} {5}}\right)=P(Z\leq -1,20)$$
  Eftersom den här tabellen inte innehåller negativa, innefattar processen följande ytterligare steg:
  $$P(Z\leq -1,20)=P(Z\geq 1,20)=1-(0. )=0,11507$$
• Vad är sannolikheten att en elev får mellan 74 och 82?
  $$P(74\leq X\leq 82)=P(2) P(X\leq 74)=0,65542-0,11507=0,54035$$
• Vad är sannolikheten att ett genomsnitt av tre poäng är 82 eller mindre?
  $$P(X\leq 82)=P\left(Z\leq { \frac {82-80}{5/{\sqrt {3}}}}\right)=P(Z\leq 0,69)=0,2549+0,5=0,7549$$

Se även

• 68–95–99,7 regel
• t -fördelningstabell