Lissajous-torisk knut

Lissajous-torisk knut med parametrarna 5, 6 och 22 i flätform (med z-axeln i horisontell riktning)

I knutteorin är en Lissajous-torisk knut en knut som definieras av parametriska ekvationer av formen

${ \displaystyle x(t)=(2+\sin qt)\cos Nt,\qquad y(t)=(2+\sin qt)\sin Nt,\qquad z(t)=\cos p(t+\phi )}$ ,

där $N$ , $p$ och $q$ är heltal , fasförskjutningen $\phi$ är ett reellt tal och parametern $t$ varierar mellan 0 och $2\pi$ .

För $p=q$ är knuten en torusknut .

Fläta och biljard knut definitioner

Lissajous-torisk knut T(4,7,35) som en biljardknuta, visar period 7

I flätform kan dessa knutar definieras i en kvadratisk solid torus (dvs. kuben $[-1,1]^{3}$ med identifierad topp och botten) som

$x(t)=\sin 2\pi qt,\qquad y(t)=\cos 2\pi p(t+\phi ),\qquad z(t)=2(Nt-\lfloor Nt \rfloor )-1,\qquad t\in [0,1]$ .

Projektionen av denna Lissajous-toriska knut på xy-planet är en Lissajous-kurva .

Genom att ersätta sinus- och cosinusfunktionerna i parametriseringen med en triangelvåg omvandlas en Lissajous-torisk knut isotopiskt till en biljardkurva inuti den solida torusen. På grund av denna egenskap kallas Lissajous-toriska knutar också för biljardknutar i en solid torus.

Lissajous-toriska knutar studerades först som biljardknutar och de delar många egenskaper med biljardknutar i en cylinder. De förekommer också i analysen av singulariteter av minimala ytor med grenpunkter och i studiet av trekroppsproblemet .

Egenskaper

Symmetrier för den Lissajous-toriska knuten T(3,8,7): symmetrisk förening (vertikal axel), rotation till spegelbild och palindromisk egenskap inom Q (horisontell axel)

Lissajous-toriska knutar betecknas med $K(N,q,p,\phi )$ . För att säkerställa att knuten endast korsas en gång i parametriseringen gäller villkoren $\gcd(N,q)=\gcd(N,p)=1$ är behövda. Dessutom måste singularvärden för fasen, som leder till självkorsningar, uteslutas.

Isotopiklassen för Lissajous-toriska knutar beror överraskande nog inte på fasen $\phi$ (upp till spegling). Om distinktionen mellan en knut och dess spegelbild inte är viktig kan notationen $K(N,q,p)$ användas.

Egenskaperna för Lissajous-toriska knutar beror på om $p$ och $q$ är coprime eller $d=\gcd(p,q)>1$ . De viktigaste egenskaperna är:

• Växla $p$ och $q$ :

$K(N,q,p)=K(N,p, q)$ (upp till spegling).

• Ribbon-egenskap:

Om $p$ och $q$ är coprime, är $K(N,q,p)$ en symmetrisk förening och därför en bandknut .

• Periodicitet:

Om $d=\gcd(p,q)>1$ , har den Lissajous-toriska knuten period $d$ och faktorknuten är en bandknut .

• Strongly-plus-amphicheirality:

Om $p$ och $q$ har olika paritet, så är $K(N,q,p)$ starkt-plus- amphicheiral.

• Period 2:

Om $p$ och $q$ båda är udda, så har $K(N,q,p)$ period 2 (för jämn ${ \displaystyle N}$ ) eller är fritt 2-periodisk (för udda ${\displaystyle N} )$ .

Exempel

Knuten T(3,8,7), som visas i grafiken, är en symmetrisk förening och en bandknut (i själva verket är det den sammansatta knuten $5_{1}\sharp -5_ {1}$ ). Den är starkt-plus-amficheiral: en rotation med $\pi$ mappar knuten till dess spegelbild, och behåller dess orientering. Ytterligare en horisontell symmetri uppstår som en kombination av den vertikala symmetrin och rotationen ('dubbel palindromicitet' i Kin/Nakamura/Ogawa).

"Klassificering" av biljardrum

I följande tabell ges en systematisk översikt över möjligheterna att bygga biljardrum från intervallet och cirkeln (intervall med identifierade gränser):

Biljardrum	Biljardknutar
$[-1,1]^{3}$	Lissajous knutar
$[-1,1]^{2}\times \mathbb {S} ^{1}$	Lissajous-toriska knutar
$[-1,1]\times \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}$	Torusknutar
$\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}$	(rummet går inte att bädda in i $\mathbb {R} ^{3}$ )

När det gäller Lissajous-knutarna uppstår reflektioner vid gränserna i alla de tre kubernas dimensioner. I det andra fallet sker reflektioner i två dimensioner och vi har en enhetlig rörelse i den tredje dimensionen. Det tredje fallet är nästan lika med den vanliga rörelsen på en torus, med ytterligare en triangelvågrörelse i den första dimensionen.