Liouvilles formel

Inom matematik är Liouvilles formel , även känd som Abel-Jacobi-Liouville-identiteten, en ekvation som uttrycker determinanten för en kvadratmatrislösning av ett första ordningens system av homogena linjära differentialekvationer i form av summan av diagonalkoefficienterna av systemet. Formeln är uppkallad efter den franske matematikern Joseph Liouville . Jacobis formel ger en annan representation av samma matematiska samband.

Liouvilles formel är en generalisering av Abels identitet och kan användas för att bevisa den. Eftersom Liouvilles formel relaterar de olika linjärt oberoende lösningarna av differentialekvationssystemet, kan det hjälpa att hitta en lösning från de andra, se exempelapplikationen nedan.

Uttalande av Liouvilles formel

Betrakta den n -dimensionella första ordningens homogena linjära differentialekvation

$y'=A(t)y$

på ett intervall I av den reella linjen , där A ( t ) för t ∈ I betecknar en kvadratisk matris av dimensionen n med reella eller komplexa poster. Låt Φ beteckna en matrisvärderad lösning på I , vilket betyder att Φ( t ) är den så kallade fundamentala matrisen , en kvadratisk matris av dimension n med reella eller komplexa poster och derivatan uppfyller

$\Phi '(t)=A(t)\Phi (t),\qquad t\in I.$

Låta

$\mathrm {tr} \,A(s)=\summa _{i=1}^{n }a_{i,i}(s),\qquad s\in I,$

beteckna spåret av A ( s ) = ( a _{i , j} ( s )) _{i , j ∈ {1,..., n }} , summan av dess diagonala poster. Om spåret av A är en kontinuerlig funktion , då determinanten för Φ uppfyller

$\det \Phi (t)=\det \Phi (t_{0})\,\ exp \left(\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {tr} \,A(s)\,{\textrm {d}}s\right)$

för alla t och t ₀ i I .

Exempelapplikation

Detta exempel illustrerar hur Liouvilles formel kan hjälpa till att hitta den allmänna lösningen av ett första ordningens system av homogena linjära differentialekvationer. Överväga

$y'=\underbrace {\begin{pmatrix}1&-1/x\\1+x&-1\end {pmatrix}} _{=\,A(x)}y$

på det öppna intervallet I = (0, ∞) . Antag att den enkla lösningen

$y(x)={\begin{pmatrix}1\\x\end{pmatrix}},\qquad x\in I,$

finns redan. Låta

$y(x)={\begin{pmatrix}y_{1}(x)\\y_{2}(x)\end{ pmatrix}}$

beteckna en annan lösning då

$\Phi (x)={\begin{pmatrix}y_{1}(x)&1\\y_ {2}(x)&x\end{pmatrix}},\qquad x\in I,$

är en kvadratmatrisvärderad lösning av differentialekvationen ovan. Eftersom spåret av A ( x ) är noll för alla x ∈ I , innebär Liouvilles formel att determinanten

$c_{1}:=\det \Phi (x)=x\,y_{1 }(x)-y_{2}(x),\qquad x\in I,$

 

 

 

 

()

är faktiskt en konstant oberoende av x . Genom att skriva ner den första komponenten i differentialekvationen för y får vi med ( 1 ) som

$y'_{1}(x)=y_{1}(x)-{\frac {y_{2}(x)}{x}}={\frac {x\,y_{1}( x)-y_{2}(x)}{x}}={\frac {c_{1}}{x}},\qquad x\in I.$

Därför ser vi det genom integration

$y_{1}(x)=c_{1}\ln x+c_{2},\qquad x\in I,$

involverar den naturliga logaritmen och integrationskonstanten c ₂ . Att lösa ekvation ( 1 ) för y ₂ ( x ) och ersätta y ₁ ( x ) ger

$y_{2}(x)=x\,y_{ 1}(x)-c_{1}=\,c_{1}x\ln x+c_{2}x-c_{1},\qquad x\in I,$

vilket är den allmänna lösningen för y . Med det speciella valet c ₁ = 0 och c ₂ = 1 återställer vi den enkla lösningen vi började med, valet c ₁ = 1 och c ₂ = 0 ger en linjärt oberoende lösning. Därför,

$\Phi (x)={\begin{pmatrix}\ln x&1\\x\ln x-1&x\ end{pmatrix}},\qquad x\in I,$

är en så kallad fundamental lösning av systemet.

Bevis på Liouvilles formel

Vi utelämnar argumentet x för korthetens skull. Med Leibniz formel för determinanter kan derivatan av determinanten av Φ = (Φ _{i , j} ) _{i , j ∈ {0,..., n }} beräknas genom att differentiera en rad i taget och ta summan, dvs.

$(\det \Phi )'=\sum _{i=1}^{n}\det {\begin{pmatrix}\Phi _{1,1}&\Phi _{1,2}&\ cdots &\Phi _{1,n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\Phi '_{i,1}&\Phi '_{i,2}&\cdots &\Phi '_{ i,n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\Phi _{n,1}&\Phi _{n,2}&\cdots &\Phi _{n,n}\end{pmatrix} }.$

 

 

 

 

()

Eftersom den matrisvärderade lösningen Φ uppfyller ekvationen Φ' = A Φ , har vi för varje inmatning av matrisen Φ'

$\Phi '_{i,k}=\summa _{j =1}^{n}a_{i,j}\Phi _{j,k}\,,\qquad i,k\in \{1,\ldots ,n\},$

eller för hela raden

$(\Phi '_{i,1},\dots ,\Phi '_{i,n})=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}(\Phi _ {j,1},\ldots ,\Phi _{j,n}),\qquad i\in \{1,\ldots ,n\}.$

När vi subtraherar från den i -te raden den linjära kombinationen

$\sum _{\scriptstyle j=1 \atop \scriptstyle j\neq i}^{n }a_{i,j}(\Phi _{j,1},\ldots ,\Phi _{j,n}),$

av alla andra rader förblir värdet på determinanten oförändrat, därför

$\det {\begin{pmatrix}\Phi _{1,1}&\Phi _{1,2}&\cdots &\Phi _{1,n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\Phi '_{i,1}&\Phi '_{i,2}&\cdots &\Phi '_{i ,n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\Phi _{n,1}&\Phi _{n,2}&\cdots &\Phi _{n,n}\end{pmatrix}} =\det {\begin{pmatrix}\Phi _{1,1}&\Phi _{1,2}&\cdots &\Phi _{1,n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\ a_{i,i}\Phi _{i,1}&a_{i,i}\Phi _{i,2}&\cdots &a_{i,i}\Phi _{i,n}\\\vdots & \vdots &&\vdots \\\Phi _{n,1}&\Phi _{n,2}&\cdots &\Phi _{n,n}\end{pmatrix}}=a_{i,i}\ det \Phi$

för varje i ∈ {1, . . . , n } av determinantens linearitet med avseende på varje rad. Därav

$(\det \Phi )'=\sum _{i=1}^{n}a_{i, i}\det \Phi =\mathrm {tr} \,A\,\det \Phi$

 

 

 

 

()

av ( 2 ) och definitionen av spåret. Det återstår att visa att denna representation av derivatan antyder Liouvilles formel.

Fixa ₀ x ∈ I . Eftersom spåret av A antas vara kontinuerlig funktion på I , är det begränsat till varje slutet och begränsat delintervall av I och därför integrerbart, därför

$g(x):=\det \Phi (x)\exp \left(-\int _{x_{0}}^{x}\mathrm {tr} \,A(\xi )\,{\textrm {d}}\xi \right),\qquad x\in I ,$

är en väldefinierad funktion. Genom att differentiera båda sidor med hjälp av produktregeln, kedjeregeln , derivatan av exponentialfunktionen och grundsatsen för kalkyl får vi

$g'(x)={\bigl (}(\det \Phi (x))'-\det \Phi (x)\,\mathrm {tr} \,A(x){\bigr )} \exp \left(-\int _{x_{0}}^{x}\mathrm {tr} \,A(\xi )\,{\textrm {d}}\xi \right)=0,\qquad x\in I,$

på grund av derivatan i ( 3 ). Därför måste g vara konstant på I , eftersom vi annars skulle få en motsägelse till medelvärdessatsen (tillämpad separat på den reella och imaginära delen i det komplext värderade fallet). Eftersom ₀₀ g ( x ) = det Φ( x ) , följer Liouvilles formel genom att lösa definitionen av g för det Φ( x ) .

•     Chicone, Carmen (2006), Ordinary Differential Equations with Applications (2 uppl.), New York: Springer-Verlag, s. 152–153, ISBN 978-0-387-30769-5 , MR 2224508 , Zbl 100120 .
•    Teschl, Gerald (2012), Ordinära differentialekvationer och dynamiska system , Providence : American Mathematical Society , MR 2961944 , Zbl 1263.34002