Likheter mellan Wiener och LMS

minsta medelkvadrat konvergerar till Wiener- filterlösningen, förutsatt att det okända systemet är LTI och att bruset är stationärt . Båda filtren kan användas för att identifiera impulssvaret för ett okänt system, med kännedom om endast den ursprungliga insignalen och utsignalen från det okända systemet. Genom att slappna av felkriteriet för att minska aktuellt sampelfel istället för att minimera det totala felet över hela n, kan LMS-algoritmen härledas från Wiener-filtret.

Härledning av Wiener-filtret för systemidentifiering

Givet en känd ingångssignal $s[n]$ , kan utsignalen från ett okänt LTI-system $x[n]$ uttryckas som:

$x[n]=\summa _{k=0}^{N-1}h_{k} s[nk]+w[n]$

där $h_{k}$ är ett okänt filtertappkoefficienter och $w[n]$ är brus.

Modellsystemet ${\hat {x}}[n]$ , som använder en wienerfilterlösning med en ordning N, kan uttryckas som:

${\hat {x}}[n]=\summa _{k=0}^{N-1}{ \hat {h}}_{k}s[nk]$

där ${\hat {h}}_{k}$ är filtertappkoefficienterna som ska bestämmas.

Felet mellan modellen och det okända systemet kan uttryckas som:

$e[n]=x[n]-{\hat {x}}[n]$

Det totala kvadratiska felet $E$ kan uttryckas som:

$E=\summa _{n=-\infty }^{\infty }e[n]^{2}$

$E=\summa _{n=-\infty }^{\infty }(x[n]-{\hat {x}}[n])^{2}$

$E=\summa _{n=-\infty }^{ \infty }(x[n]^{2}-2x[n]{\hat {x}}[n]+{\hat {x}}[n]^{2})$

Använd kriteriet Minimum medelkvadratfel över alla $n$ genom att ställa in dess gradient till noll:

$\nabla E=0$ vilket är ${\frac {\partial E}{\partial {\hat {h}}_{i}}}=0$ för alla $i=0,1,2,...,N-1$

${\frac { \partial E}{\partial {\hat {h}}_{i}}}={\frac {\partial }{\partial {\hat {h}}_{i}}}\sum _{n= -\infty }^{\infty [x[n]^{2}-2x[n]{\hat {x}}[n]+{\hat {x}}[n]^{2}]$

Ersätt definitionen av ${\hat {x}}[n]$ :

${\frac {\partial E}{\partial {\hat {h}}_{i}}}={\frac {\partial } {\partial {\hat {h}}_{i}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty [x[n]^{2}-2x[n]\summa _{k =0}^{N-1}{\hat {h}}_{k}s[nk]+(\summa _{k=0}^{N-1}{\hat {h}}_{k }s[nk])^{2}]$

Fördela den partiella derivatan:

${\frac {\partial E}{\partial {\hat {h}}_{i}}}=\summa _{n=-\infty }^{\infty }[-2x[n ]s[ni]+2(\summa _{k=0}^{N-1}{\hat {h}}_{k}s[nk])s[ni]]$

Använder definitionen av diskret korskorrelation :

$R_{xy}(i)=\summa _{n=-\infty }^{\infty }x [n]y[ni]$

${\frac {\partial E}{\partial { \hat {h}}_{i}}}=-2R_{xs}[i]+2\sum _{k=0}^{N-1}{\hat {h}}_{k}R_{ ss}[ik]=0$

Ordna om termerna:

$R_{xs}[i]=\summa _{k=0}^{N-1}{ \hat {h}}_{k}R_{ss}[ik]$ för alla $i=0,1,2,...,N-1$

Detta system av N ekvationer med N okända kan bestämmas.

De resulterande koefficienterna för Wiener-filtret kan bestämmas av: ${\displaystyle W=R_{xx}^{-1}P_{xs}} ,$ där $P_ {xs}$ är korskorrelationsvektorn mellan $x$ och $s$ .