Lieb–Liniger modell
Lieb -Liniger-modellen beskriver en gas av partiklar som rör sig i en dimension och uppfyller Bose-Einstein-statistiken .
Introduktion
En modell av en gas av partiklar som rör sig i en dimension och som uppfyller Bose–Einstein-statistiken introducerades 1963 för att studera om de tillgängliga ungefärliga teorierna för sådana gaser, specifikt Bogoliubovs teori, skulle överensstämma med modellgasens faktiska egenskaper. Modellen är baserad på en väldefinierad Schrödinger Hamiltonian för partiklar som interagerar med varandra via en tvåkroppspotential, och alla egenfunktioner och egenvärden för denna Hamiltonian kan i princip beräknas exakt. Ibland kallas det endimensionell Bose-gas med deltainteraktion. Det kan också betraktas som kvant -icke-linjär Schrödinger-ekvation .
Grundtillståndet såväl som de lågt liggande exciterade tillstånden beräknades och visade sig överensstämma med Bogoliubovs teori när potentialen är liten, förutom det faktum att det faktiskt finns två typer av elementära excitationer istället för en, som förutspåtts av Bogoliubovs och andra teorier.
Modellen verkade bara vara av akademiskt intresse tills det, med de sofistikerade experimentella tekniker som utvecklades under det första decenniet av 2000-talet, blev det möjligt att producera denna typ av gas med hjälp av verkliga atomer som partiklar.
Definition och lösning av modellen
Det finns bosonpartiklar med koordinater på linjen , med periodiska randvillkor. Således måste ett tillstånd för N-kroppssystemet beskrivas av en vågfunktion som förblir oförändrad under permutation av två valfria partiklar (permutationssymmetri), dvs. för alla och uppfyller \ . Hamiltonian, i lämpliga enheter, är
där är Dirac delta-funktionen , dvs interaktionen är en kontaktinteraktion. Konstanten anger dess styrka. Deltafunktionen ger upphov till ett gränsvillkor när två koordinater, säg och är lika; detta villkor är att som uppfyller derivatan . Gränsen för hård kärna är känd som Tonks–Girardeau-gasen .
Schrödingers tidsoberoende ekvation, löses genom explicit konstruktion av . Eftersom är symmetrisk bestäms den helt av dess värden i simplexen definierad av villkoret att . I denna region letar man efter en av den form som HA Bethe ansåg 1931 i samband med magnetiska spinnsystem - Bethe ansatz . Det vill säga, för vissa reella tal som ska bestämmas,
där summan är över hela permutationer, , av heltal , och maps till . Koefficienterna , såväl som bestäms av villkoret , och det här leder till
Dorlas (1993) bevisade att alla egenfunktioner för är av denna form.
Dessa ekvationer bestämmer i termer av , som i sin tur bestäms av de periodiska randvillkoren. Dessa leder till ekvationer:
där är heltal när är udda och när är jämnt, de tar värden . För grundtillståndet är tillfredsställande
Den första typen av elementär excitation består i att välja som tidigare, men att öka med ett belopp (eller minskar med ). Momentet för detta tillstånd är (eller .
För den andra typen, välj några och öka för alla . Momentet för detta tillstånd är . På liknande sätt finns det ett tillstånd med . Drivkraften för denna typ av excitation är begränsad till
Dessa excitationer kan kombineras och upprepas många gånger. Således är de bosoniska. Om vi betecknar marktillståndsenergin (= lägsta) med och energierna för de ovan nämnda tillstånden med då och är excitationsenergierna för de två lägena.
Termodynamisk gräns
För att diskutera en gas tar vi en gräns och till oändlighet med densiteten fast. Grundtillståndsenergin per partikel och har alla gränser som . Även om det finns två parametrar, och , visar enkel längdskalning att det egentligen bara finns en, nämligen .
För att utvärdera antar vi att N ligger mellan talen och som ska bestämmas, och med en densitet . Denna har visat sig uppfylla ekvationen (i intervallet )
som har en unik positiv lösning. En excitation förvränger denna densitet och liknande integralekvationer bestämmer dessa förvrängningar. Grundtillståndsenergin per partikel ges av
Figur 1 visar hur beror på och visar även Bogoliubovs approximation till . Den senare är asymptotiskt exakt till andra ordningen i , nämligen . Vid , \
Figur 2 visar de två excitationsenergierna och för ett litet värde på . De två kurvorna liknar dessa för alla värden på , men Bogoliubov-approximationen (streckad) blir sämre när ökar.
Från tre till en dimension.
Denna endimensionella gas kan tillverkas med hjälp av verkliga, tredimensionella atomer som partiklar. Man kan matematiskt bevisa från Schrödinger-ekvationen för tredimensionella partiklar i en lång cylindrisk behållare, att lågenergitillstånden beskrivs av den endimensionella Lieb-Liniger-modellen. Detta gjordes för marktillståndet och för upphetsade tillstånd. Cylindern inte vara lika smal som atomdiametern; den kan vara mycket bredare om excitationsenergin i riktningen vinkelrät mot axeln är stor jämfört med energin per partikel .
externa länkar
- Se även Elliott H. Lieb (2008), Scholarpedia, 3(12):8712. [1]