Lidstone-serien

Inom matematiken är en Lidstone-serie , uppkallad efter George James Lidstone , en sorts polynomexpansion som kan uttrycka vissa typer av hela funktioner .

Låt ƒ ( z ) vara en hel funktion av exponentiell typ mindre än ( N + 1) π , enligt definitionen nedan. Sedan ƒ ( z ) utökas i termer av polynom A _n enligt följande:

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\left[A_{n}(1-z)f^{(2n)}(0)+A_{n}(z )f^{(2n)}(1)\höger]+\summa _{k=1}^{N}C_{k}\sin(k\pi z).$

Här är A _n ( z ) ett polynom i z av graden n , C _k en konstant och ƒ ^{( n )} ( a ) den n :te derivatan av ƒ vid a .

En funktion sägs vara av exponentiell typ på mindre än t om funktionen

$h(\theta ;f)={\underset {r\to \infty }{\limsup }}\,{\frac {1}{r}}\log |f(re^{i\theta } )|$

begränsas ovan av t . Således ges konstanten N som används i summeringen ovan av

$t=\sup _{\theta \in [0,2\pi )}h(\theta ;f)$

med

$N\pi \leq t<(N+1)\pi .$

•   Ralph P. Boas, Jr. och C. Creighton Buck, Polynomial Expansions of Analytic Functions , (1964) Academic Press, NY. Library of Congress Katalog 63-23263. Utgiven som volym 19 av Moderne Funktionentheorie ed. LV Ahlfors, serie Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Springer-Verlag ISBN 3-540-03123-5