Lehmer-sekvens

"Lehmer nummer" omdirigerar hit. Det kan också hänvisa till en hypotetisk lösning på Lehmers totala problem .

Inom matematiken är en Lehmer-sekvens en generalisering av en Lucas-sekvens .

Algebraiska relationer

Om a och b är komplexa tal med

$a+b={\sqrt {R}}$

$ab=Q$

under följande villkor:

• Q och R är relativt primtal heltal som inte är noll
• $a/b$ är inte en rot till enhet .

Då är motsvarande Lehmer-tal:

$U_{n}({\sqrt {R}},Q)={\frac {a^{n}-b^{n} }{ab}}$

för n udda , och

$U_{n}({\sqrt {R}},Q)={\frac {a^{n}-b^{ n}}{a^{2}-b^{2}}}$

för n jämn .

Deras sällskapsnummer är:

$V_{n}({\sqrt {R}},Q)={\frac {a^{n}+b^{n} }{a+b}}$

för n udda och

$V_{n}({\sqrt {R}},Q)=a^{n}+b^{n}$

för n jämn.

Upprepning

Lehmertal bildar ett linjärt återkommande förhållande med

$U_{n}=( R-2Q)U_{n-2}-Q^{2}U_{n-4}=(a^{2}+b^{2})U_{n-2}-a^{2}b^ {2}U_{n-4}$

med initiala värden $U_{0}=0,\,U_{1}=1, \,U_{2}=1,\,U_{3}=RQ=a^{2}+ab+b^{2}$ . På samma sätt uppfyller följesekvensen

$V_{n}=( R-2Q)V_{n-2}-Q^{2}V_{n-4}=(a^{2}+b^{2})V_{n-2}-a^{2}b^ {2}V_{n-4}$

med initiala värden $V_{0}=2,\,V_{1}=1,\,V_{2}=R-2Q=a^{2}+b^{2},\,V_{3}=R -3Q=a^{2}-ab+b^{2}.$