Lee-Yang-satsen

Inom statistisk mekanik , säger Lee-Yang-satsen att om partitionsfunktioner för vissa modeller i statistisk fältteori med ferromagnetiska interaktioner betraktas som funktioner av ett yttre fält, så är alla nollor rent imaginära (eller på enhetscirkeln efter en förändring av variabeln ). Den första versionen bevisades för Ising-modellen av TD Lee och CN Yang ( 1952 ) ( Lee & Yang 1952) . Deras resultat utökades senare till mer allmänna modeller av flera personer. Asano utvidgade 1970 Lee-Yang-satsen till Heisenberg-modellen och gav ett enklare bevis med Asano-sammandragningar . Simon & Griffiths (1973) utökade Lee-Yang-satsen till vissa kontinuerliga sannolikhetsfördelningar genom att approximera dem genom en superposition av Ising-modeller. Newman (1974) gav en allmän sats som grovt anger att Lee-Yang-satsen gäller för en ferromagnetisk interaktion förutsatt att den gäller för noll interaktion. Lieb & Sokal (1981) generaliserade Newmans resultat från mått på R till mått på högredimensionellt euklidiskt rum.

Det har förekommit vissa spekulationer om ett samband mellan Lee-Yang-satsen och Riemann-hypotesen om Riemanns zeta-funktion ; se ( Knauf 1999 ).

Påstående

Förberedelser

Längs formaliseringen i Newman (1974) ges Hamiltonian av

$H=-\summa J_{jk}S_{j}S_{k}-\summa z_{j}S_{j}$

där Sj är spinnvariabler, _z j _externt fält. Systemet sägs vara ferromagnetiskt om alla koefficienter i interaktionstermen J _jk är icke-negativa realer.

Partitionsfunktionen ges av

$Z=\int e^{-H}d\mu _{1}(S_{1})\cdots d \mu _{N}(S_{N})$

där varje dμ _j är ett jämnt mått på de reella R som minskar i oändligheten så snabbt att alla Gaussiska funktioner är integrerbara, dvs.

$\int e^{bS^{2}}d|\mu _{j}(S)|<\infty ,\,\forall b\in \mathbb {R} .$

Ett snabbt minskande mått på realerna sägs ha Lee-Yang-egenskapen om alla nollor i dess Fouriertransform är reella enligt följande.

$\int e^{hS}d\mu _{j}(S) \neq 0,\,\forall h\in \mathbb {H} _{+}:=\{z\in \mathbb {C} \mid \Re (z)>0\}$

Sats

Lee -Yang-satsen säger att om Hamiltonian är ferromagnetisk och alla måtten dμ _j har Lee-Yang-egenskapen, och alla tal z _j har positiv reell del, så är partitionsfunktionen icke-noll.

$Z(\{z_{j}\})\neq 0,\,\forall z_{j}\in \mathbb {H} _{ +}$

I synnerhet om alla siffror zj är lika med något tal z , så är alla nollor i partitionsfunktionen (betraktad som en funktion av _z ) imaginära.

I det ursprungliga Ising-modellfallet som Lee och Yang betraktade, har alla måtten stöd på 2-punktsuppsättningen −1, 1, så partitionsfunktionen kan betraktas som en funktion av variabeln ρ = e ^{π z} . Med denna förändring av variabeln säger Lee–Yang-satsen att alla nollor ρ ligger på enhetscirkeln.

Exempel

Några exempel på mått med egenskapen Lee–Yang är:

• Måttet på Ising-modellen, som har stöd bestående av två punkter (vanligtvis 1 och −1) vardera med vikten 1/2. Detta är det ursprungliga fallet som Lee och Yang betraktade.
• Fördelningen av spinn n /2, vars stöd har n +1 lika åtskilda punkter, var och en med vikt 1/( n + 1). Detta är en generalisering av Ising-modellfallet.
• Måttdensiteten jämnt fördelad mellan -1 och 1.
• Densiteten $\exp(-\lambda \cosh(S))\,dS$
• Densiteten $\exp(-\lambda S^{4}-bS^{2})\,dS$ för positiv λ och reell b . Detta motsvarar den ( φ ⁴ ) ₂ euklidiska kvantfältteorin.
• Densiteten $\exp(-\lambda S^{6}-aS^{4}-bS^{2})\,dS$ för positiv λ har inte alltid Lee-Yang-egenskapen.
• Om dμ har Lee-Yang-egenskapen, så har exp( bS ² ) dμ för alla positiva b .
• Om dμ har Lee-Yang-egenskapen, så har Q ( S ) dμ för alla jämna polynom Q vars alla nollor är imaginära.
• Konvolutionen av två mått med Lee-Yang-egenskapen har också Lee-Yang-egenskapen.

Se även

• Lee-Yang teori

•    Itzykson, Claude; Drouffe, Jean-Michel (1989), Statistisk fältteori. Vol. 1 , Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-34058-8 , MR 1175176
•     Andreas (1999), "Sifferteori, dynamiska system och statistisk mekanik", Reviews in Mathematical Physics , 11 (8): 1027–1060, Bibcode : 1999RvMaP..11.1027K , CiteSeerX 10.1.1.8i .1.814 .1.811 . /S0129055X99000325 , ISSN 0129-055X , MR 1714352
•   Lee, TD; Yang, CN (1952), "Statistical Theory of Equations of State and Phase Transitions. II. Lattice Gas and Ising Model", Physical Review , 87 (3): 410–419, Bibcode : 1952PhRv...87..410L , doi : 10.1103/PhysRev.87.410 , ISSN 0031-9007
•     Lieb, Elliott H.; Sokal, Alan D. (1981), "A general Lee-Yang theorem for one-component and multicomponent ferromagnets" , Communications in Mathematical Physics , 80 (2): 153–179, Bibcode : 1981CMaPh..80..153L , doi : 10.1007/BF01213009 , ISSN 0010-3616 , MR 0623156 , S2CID 59332042
•    Newman, Charles M. (1974), "Zeros of the partition function for generalized Ising systems", Communications on Pure and Applied Mathematics , 27 (2): 143–159, doi : 10.1002/cpa.3160270203 , ISSN 0010 , -3640 MR 0484184
•      Simon, Barry ; Griffiths, Robert B. (1973), "The (φ ⁴ ) ₂ field theory as a classical Ising model" , Communications in Mathematical Physics , 33 (2): 145–164, Bibcode : 1973CMaPh..33..145S , CiteSeerX 10.1.1.210.9639 , doi : 10.1007/BF01645626 , ISSN 0010-3616 , MR 0428998 , S2CID 123201243
•   Yang, CN; Lee, TD (1952), "Statistical Theory of Equations of State and Phase Transitions. I. Theory of Condensation", Physical Review , 87 (3): 404–409, Bibcode : 1952PhRv...87..404Y , doi : 10.1103/PhysRev.87.404 , ISSN 0031-9007