Ledare av en elliptisk kurva

I matematik är ledaren av en elliptisk kurva över fältet av rationella tal , eller mer allmänt ett lokalt eller globalt fält , ett integrerat ideal analogt med Artin-ledaren för en Galois-representation. Det ges som en produkt av primära ideal , tillsammans med tillhörande exponenter, som kodar förgreningen i fältförlängningarna som genereras av punkterna i ändlig ordning i den elliptiska kurvans grupplag . De primtal som är involverade i ledaren är just primtal för dålig reduktion av kurvan: detta är Néron–Ogg–Shafarevich-kriteriet .

Oggs formel uttrycker ledaren i termer av diskriminant och antalet komponenter i specialfibern över ett lokalt fält, vilket kan beräknas med hjälp av Tates algoritm .

Historia

Ledaren av en elliptisk kurva över ett lokalt fält studerades implicit (men namngavs inte) av Ogg (1967) i form av en heltalsinvariant ε+δ som senare visade sig vara ledarens exponent.

Ledaren av en elliptisk kurva över rationalerna introducerades och namngavs av Weil (1967) som en konstant som förekommer i den funktionella ekvationen för dess L-serie, analogt med hur ledaren för ett globalt fält uppträder i den funktionella ekvationen för dess zeta fungera. Han visade att det kunde skrivas som en produkt över primtal med exponenter givna av order(Δ) − μ + 1, som med Oggs formel är lika med ε+δ. En liknande definition fungerar för alla globala fält. Weil föreslog också att ledaren var lika med nivån för en modulär form som motsvarar den elliptiska kurvan.

Serre & Tate (1968) utvidgade teorin till ledare av abelska varianter.

Definition

Låt E vara en elliptisk kurva definierad över ett lokalt fält K och p ett primideal för ringen av heltal av K . Vi betraktar en minimal ekvation för E : en generaliserad Weierstrass-ekvation vars koefficienter är p -integraler och med värderingen av diskriminanten ν _p (Δ) så liten som möjligt. Om diskriminanten är en p -enhet så har E bra reduktion vid p och ledarens exponent är noll.

Vi kan skriva exponenten f för ledaren som en summa ε + δ av två termer, motsvarande den tama och vilda förgreningen. Den tama förgreningsdelen ε definieras i termer av reduktionstypen: ε=0 för god reduktion, ε=1 för multiplikativ reduktion och ε=2 för additiv reduktion. Den vilda förgreningstermen δ är noll om inte p delar 2 eller 3, och i de senare fallen definieras den i termer av den vilda förgreningen av förlängningarna av K av divisionspunkterna för E av Serres formel

$\delta =\dim _{Z/lZ}{\text{Hom}}_{Z_{l}[G]}(P,M).$

Här är M gruppen av punkter på den elliptiska kurvan av ordningen l för ett primtal l , P är Swan-representationen och G Galois-gruppen med en ändlig förlängning av K så att punkterna för M definieras över den (så att G agerar på M )

Oggs formel

Ledarens exponent är relaterad till andra invarianter av den elliptiska kurvan med Oggs formel:

$f_{\mathbf {p} }=\nu _{\mathbf {p} }(\Delta )+1-n\ ,$

där n är antalet komponenter (utan att räkna multipliciteter) av singularfibern i Néron-minimalmodellen för E. (Detta används ibland som en definition av ledaren).

Oggs originalbevis använde mycket fall för fall-kontroll, särskilt i egenskaperna 2 och 3. Saito (1988) gav ett enhetligt bevis och generaliserade Oggs formel till mer generella aritmetiska ytor.

Vi kan också beskriva ε i termer av värderingen av j-invarianten ν _p ( j ): den är 0 vid god reduktion; annars är det 1 om ν _p ( j ) < 0 och 2 om ν _p ( j ) ≥ 0.

Global ledare

Låt E vara en elliptisk kurva definierad över ett talfält K . Den globala ledaren är det ideal som produkten ger över primtal av K

$f(E)=\prod _{\mathbf {p} }\mathbf {p} ^{f_{\mathbf {p} }}\ .$

Detta är en ändlig produkt eftersom primtal för dålig reduktion finns i uppsättningen av primtalsdivisorer för diskriminanten för varje modell för E med globala integralkoefficienter.

•   Cremona, John (1997). Algoritmer för modulära elliptiska kurvor (2:a upplagan). Cambridge University Press. ISBN 0-521-59820-6 .
•   Husemöller, Dale (2004). Elliptiska kurvor . Examentexter i matematik. Vol. 111 (andra upplagan). Springer. ISBN 0-387-95490-2 .
•      Néron, André (1964), " Modèles minimaux des variétés abéliennes sur les corps locaux et globaux" , Publications Mathématiques de l'IHÉS (på franska), 21 : 5–128, doi : 10.1007/BF026842 , 8 117 , 8 1 1 19 IS 1 , 8 1 19 , 8 17 19 0179172 , S2CID 120802890 , Zbl 0132.41403
•      Ogg, AP (1967), "Elliptic curves and wild ramification", American Journal of Mathematics , 89 (1): 1–21, doi : 10.2307/2373092 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2373092 , MR 41,307, 3007, 69 02 , 30 30 , 30 0002
•   Saito, Takeshi (1988), "Direktor, diskriminant och Noether-formeln för aritmetiska ytor", Duke Math. J. , 57 (1): 151–173, doi : 10.1215/S0012-7094-88-05706-7 , MR 0952229
•      Serre, Jean-Pierre ; Tate, John (1968), "Good reduction of abelian varieties", Annals of Mathematics , Second Series, 88 (3): 492–517, doi : 10.2307/1970722 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970722 1970722 02 02 , 40722 10,6 MR 902 02 , 022 10,6 1
•   Silverman, Joseph H. (1994). Avancerade ämnen i aritmetiken av elliptiska kurvor . Examentexter i matematik. Vol. 151. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94328-5 .
•   Silverman, Joseph H. ; Tate, John (1992). Rationella punkter på elliptiska kurvor . Springer-Verlag. ISBN 0-387-97825-9 .
•    John Tate (1974). "Aritmetiken för elliptiska kurvor" . Inventiones Mathematicae . 23 (3–4): 179–206. doi : 10.1007/BF01389745 . S2CID 120008651 . Zbl 0296.14018 .
•    Weil, André (1967), "Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen", Math. Ann. , 168 : 149–156, doi : 10.1007/BF01361551 , MR 0207658 , S2CID 120553723

externa länkar

• Elliptiska kurvdata - tabeller över elliptiska kurvor över Q listade efter ledare, beräknade av John Cremona