Laserlinjebredd

Laserlinjebredd är den spektrala linjebredden för en laserstråle .

Två av de mest utmärkande egenskaperna för laseremission är rumslig koherens och spektral koherens . Medan rumslig koherens är relaterad till stråldivergensen hos lasern, utvärderas spektral koherens genom att mäta laserstrålningens linjebredd.

Teori

Historik: Första härledning av laserns linjebredd

Den första mänskliga gjorda sammanhängande ljuskällan var en maser . Förkortningen MASER står för "Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation". Närmare bestämt var det ammoniakmasern som arbetade vid 12,5 mm våglängd som demonstrerades av Gordon , Zeiger och Townes 1954. Ett år senare härledde samma författare teoretiskt linjebredden för sin anordning genom att göra rimliga uppskattningar som deras ammoniakmaser

1. är en sann kontinuerlig våg (CW) maser,
2. är en äkta fyra-nivå maser , och
3. uppvisar inga inre resonatorförluster utan endast utkopplingsförluster.

Noterbart var att deras härledning var helt semi-klassisk, och beskrev ammoniakmolekylerna som kvantemitter och antog klassiska elektromagnetiska fält (men inga kvantiserade fält eller kvantfluktuationer ), vilket resulterade i halvbredd-vid-halv-maximum (HWHM) maserlinjebredden

$\Delta \nu _ {\rm {M}}^{*}={\frac {4\pi k_{\rm {B}}T(\Delta \nu _{\rm {c}}^{*})^{2} }{P_{\rm {ut}}}}\Leftrightarrow \Delta \nu _{\rm {M}}={\frac {2\pi k_{\rm {B}}T(\Delta \nu _{ \rm {c}})^{2}}{P_{\rm {out}}}},$

betecknas här med en asterisk och omvandlas till full bredd-vid-halv-maximum (FWHM) linjebredd $\Delta \nu _{\rm {M}}=2\Delta \nu _{\rm {M}}^{*}$ . $k_{\rm {B}}$ är Boltzmann-konstanten , $T$ är temperaturen , $P_{\rm {out}}$ är uteffekten , och $\Delta \nu _{\rm {c}}^{*}$ och $\Delta \nu _{\rm {c}} =2\Delta \nu _{\rm {c}}^{*}$ är HWHM- och FWHM-linjebredderna för den underliggande passiva mikrovågsresonatorn .

1958, två år innan Maiman demonstrerade lasern (som ursprungligen kallades en "optisk maser"), överförde Schawlow och Townes maserns linjebredd till den optiska regimen genom att ersätta den termiska energin $k_{\rm {B}} T$ av fotonenergin $h\nu _{\rm {L}}$ , där $h$ är Planck-konstanten och $\nu _{\rm {L }}$ är frekvensen för laserljus, och approximerar därmed den

${\displaystyle }$ iv. en foton kopplas till lasermoden genom spontan emission under fotonavklingningstiden $\tau _{\rm {c}}$ ,

vilket resulterar i den ursprungliga Schawlow–Townes approximation av laserlinjebredden:

$\Delta \nu _{\rm {L,ST}}^{*}={\frac {4\pi h\nu _{\rm {L}}(\Delta \nu _{\rm { c}}^{*})^{2}}{P_{\rm {out}}}}\Leftrightarrow \Delta \nu _{\rm {L,ST}}={\frac {2\pi h\ nu _{\rm {L}}(\Delta \nu _{\rm {c}})^{2}}{P_{\rm {out}}}}.$

Även överföringen från mikrovågsugnen till den optiska regimen var helt semi-klassisk, utan att anta kvantiserade fält eller kvantfluktuationer. Följaktligen är den ursprungliga Schawlow-Townes-ekvationen helt baserad på semi-klassisk fysik och är en fyrfaldig approximation av en mer allmän laserlinjebredd, som kommer att härledas i det följande.

Passiv resonatorläge: Fotonavklingningstid

Fabry–Pérot-resonator med två spegel av geometrisk längd $\ell$ , homogent fylld med ett aktivt lasermedium med brytningsindex $n$ . Vi definierar referenssituationen, nämligen det passiva resonatorläget, för en resonator vars aktiva medium är transparent , dvs. det introducerar inte förstärkning eller absorption .

Rundturstiden $t_{\rm {RT}}$ för ljus som färdas i resonatorn med hastigheten $c=c_{0}/n$ , där ${\ displaystyle c_{0}}$ är ljusets hastighet i vakuum , och det fria spektralområdet $\Delta \nu _{\rm {FSR}}$ ges av

$t_{\rm {RT}}={\frac {1}{\Delta \nu _{\rm {FSR}}}}={\frac {2\ell }{c}}.$

Ljus i det intressanta longitudinella resonatorläget svänger vid den q : e resonansfrekvensen

$\nu _{L}={\frac {q}{t_{\rm {RT}}}}=q\Delta \nu _{\rm {FSR}}.$

Den exponentiella utkopplingsavklingningstiden τ $\tau _{\rm {out}}}$ displaystyle och motsvarande avklingningshastighetskonstant $1/\tau _{\rm {out} }$ är relaterade till intensitetsreflektanserna ${i}}$ R_ för de två resonatorspeglarna i $\displaystyle i=1,2}$ 2

$R_{1}R_{2}=e^{-t_{\rm {RT}}/\tau _{\rm {out}}}\Rightarrow {\frac {1}{\tau _{\ rm {out}}}}={\frac {-\ln {(R_{1}R_{2})}}{t_{\rm {RT}}}}.$

Den exponentiella inre förlusttiden $\tau _{\rm {loss}}$ och motsvarande avklingningshastighetskonstant $1/\tau _{\rm { förlust}}$ är relaterade till den inneboende förlusten tur och retur $L_{\rm {RT}}$ med

$1-L_{\rm {RT}}=e^{-t_{\rm {RT}}/\tau _{\rm {loss}}}\Rightarrow {\frac {1}{\tau _ {\rm {förlust}}}}={\frac {-\ln {(1-L_{\rm {RT}})}}{t_{\rm {RT}}}}.$

Den exponentiella fotonavklingningstiden $\tau _{\text{c}}$ och motsvarande avklingningshastighetskonstant $1/\tau _{\rm {c}}$ av den passiva resonatorn ges sedan av

${\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {out}}}}+{\frac {1}{ \tau _{\rm {förlust}}}}={\frac {-\ln {[R_{1}R_{2}(1-L_{\rm {RT}})]}}{t_{\rm {RT}}}}.$

Alla tre exponentiella avklingningstiderna är genomsnittliga över tiden $t_{\rm {RT}}.$ I det följande antar vi att $\ell$ , $n$ , $R_{1}$ , ${\ displaystyle R_{2}}$ och $L_{\rm {RT}}$ , därav också $\tau _{\rm {out}}$ , $\tau _{\rm {loss}}$ och $\tau _{\rm {c}}$ varierar inte nämnvärt över frekvensområdet av intresse.

Passiv resonatorläge: Lorentzisk linjebredd, Q -faktor, koherenstid och längd

Förutom fotonavklingningstiden $\tau _{\rm {c}}$ kan spektralkoherensegenskaperna för den passiva resonatormoden uttryckas ekvivalent med följande parametrar. Den FWHM Lorentziska linjebredden $\Delta \nu _{\rm {c}}$ för det passiva resonatorläget som visas i Schawlow-Townes ekvation härleds från den exponentiella fotonavklingningstiden $\tau _{\rm {c}}$ av Fourier-transformation ,

$\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {1}{2\pi \tau _{\rm {c}}}}.$

Q -faktorn Q $Q_{\rm {c}}$ definieras som energin $W_{\rm {lagrad}}$ i resonatorläget över energin $W_{\rm {lost}}$ förlorat per oscillationscykel,

$Q_{\rm {c}}=2\pi {\frac {W_{\rm {lagrade}}(t)}{W_{\rm {lost}}}(t)}} =2\pi {\frac {\varphi (t)}{-{\frac {1}{\nu _{L}}}{\frac {d}{dt}}\varphi (t)}}=2 \pi \nu _{L}\tau _{\rm {c}}={\frac {\nu _{L}}{\Delta \nu _{\rm {c}}}},$

där $\varphi =W_{\rm {lagrade}}/h\nu _{L}$ är antalet fotoner i läget. Koherenstiden $\tau _{\rm {c}}^{\rm {coh}}$ och koherenslängden $\ell _{\rm {c} }^{\rm {coh}}$ ljus som emitteras från läget ges av

$\tau _{\rm {c}}^{\rm {coh}}={\frac {1}{c}}\ell _{\rm {c}}^{\rm {coh}} =2\tau _{\rm {c}}.$

Aktivt resonatorläge: Förstärkning, fotonavklingningstid, Lorentzisk linjebredd, Q -faktor, koherenstid och längd

Med befolkningstätheterna $N_{2}$ och $N_{1}$ för övre respektive undre lasernivån och de effektiva tvärsnitten $\sigma _{\rm {e}}$ och $\sigma _{\rm {a}}$ av stimulerad emission och absorption vid resonansfrekvensen ${\displaystyle \nu _{L}} ,$ respektive förstärkningen per enhet längden i det aktiva lasermediet vid resonansfrekvensen $\nu _{L}$ ges av

$g=\sigma _{\rm {e}}N_{2}-\sigma _{\rm {a}}N_{1}.$

Ett värde på $g>0$ inducerar förstärkning, medan $g<0$ inducerar absorption av ljus vid resonansfrekvensen $\nu _{L}$ , vilket resulterar i en förlängd eller förkortad fotonavklingningstid $\tau _{\rm {L}}$ för fotoner ur det aktiva resonatorläget, respektive,

${\frac {1}{\tau _{\rm {L}}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}-cg.$

De övriga fyra spektralkoherensegenskaperna för den aktiva resonatormoden erhålls på samma sätt som för den passiva resonatormoden. Den Lorentzianska linjebredden härleds av Fourier-transformation,

$\Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {1}{2\pi \tau _{\rm {L}}}}.$

Ett värde på $g>0$ leder till förstärkningsavsmalning, medan $g<0$ leder till absorptionsbreddning av den spektrala linjebredden. Q - faktorn är

$Q_{\rm {L}}=2\pi {\frac {W_{\rm {lagrade}}(t)}{W_{\rm {lost}}}(t)}}=2\pi { \frac {\varphi (t)}{-{\frac {1}{\nu _{L}}}{\frac {d}{dt}}\varphi (t)}}=2\pi \nu _ {L}\tau _{\rm {L}}={\frac {\nu _{L}}{\Delta \nu _{\rm {L}}}}.$

Koherensen tid och längd är

$\tau _{\rm {L}}^{\rm {coh}}={\frac {1}{c}}\ell _{\rm {L}}^{\rm {coh}} =2\tau _{\rm {L}}.$

Spektralkoherensfaktor

Faktorn med vilken fotonavklingningstiden förlängs genom förstärkning eller förkortas genom absorption introduceras här som spektralkoherensfaktorn $\Lambda$ :

$\Lambda :={\frac {1}{1-cg\tau _{\rm {c}}}}.$

Alla fem spektralkoherensparametrarna skalas sedan med samma spektralkoherensfaktor $\Lambda$ :

${\begin{aligned}\tau _{\rm {L}}&=\Lambda \tau _{\rm {c}},&(\Delta \nu _{\rm {L}})^ {-1}&=\Lambda (\Delta \nu _{\rm {c}})^{-1},&Q_{\rm {L}}&=\Lambda Q_{\rm {c}},& \tau _{\rm {L}}^{\rm {coh}}&=\Lambda \tau _{\rm {c}}^{\rm {coh}},&\ell _{\rm {L }}^{\rm {coh}}&=\Lambda \ell _{\rm {c}}^{\rm {coh}}.\end{aligned}}$

Laserresonatorläge: Grundläggande laserlinjebredd

Med antalet $\varphi$ av fotoner som fortplantar sig inuti lasrresonatorläget är de stimulerade emissions- och fotonavklingningshastigheterna, respektive,

$R_{\rm {st}}=cg\varphi ,$

$R_{\rm {decay}}={\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}\varphi .$

Spektralkoherensfaktorn blir då

$\Lambda ={\frac {R_{\rm {förfall}}}{R_{\rm {förfall}}-R_{\rm {st}}}}.$

Fotonavklingningstiden för lasrresonatormoden är

$\tau _{\rm {L}}=\Lambda \tau _{\rm {c}}={\frac {R_{\rm {förfall}}}{R_{\rm {förfall}}- R_{\rm {st}}}}\tau _{\rm {c}}.$

Den grundläggande laserns linjebredd är

$\Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {1}{\Lambda }}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {R_{\rm {förfall }}-R_{\rm {st}}}{R_{\rm {förfall}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}.$

Denna grundläggande linjebredd är giltig för lasrar med ett godtyckligt energinivåsystem, som arbetar under, vid eller över tröskeln, där förstärkningen är mindre, lika med eller större jämfört med förlusterna, och i en cw eller en transient lasrregim.

Det blir tydligt från dess härledning att den grundläggande laserlinjebredden beror på den halvklassiska effekten att förstärkningen förlänger fotonnedbrytningstiden.

Kontinuerlig våglaser: Förstärkningen är mindre än förlusterna

Den spontana emissionshastigheten i lasrresonatormoden ges av

$R_{\rm {sp}}=c\sigma _{\rm {e}}N_{2}.$

Noterbart är att $R_{\rm {sp}}$ alltid är en positiv hastighet, eftersom en atomexcitation omvandlas till en foton i lasermoden. Det är källtermen för laserstrålning och får inte misstolkas som "brus". Fotonhastighetsekvationen för en enstaka lasermod läses

${\frac {d}{dt}}\varphi =R_{\rm {sp}}+R_{\rm {st}}-R_{\rm {decay}}=c\sigma _{\rm {e}}N_{2}+cg\varphi -{\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}\varphi .$

En CW-laser definieras av ett temporärt konstant antal fotoner i lasermoden, därför $d\varphi /dt=0$ . I en CW-laser kompenserar de stimulerade och spontana emissionshastigheterna tillsammans fotonnedbrytningshastigheten. Följaktligen,

$R_{\rm {st}}-R_{\rm {sönderfall}}=-R_{\rm {sp}}<0 .$

Den stimulerade emissionshastigheten är mindre än fotonnedbrytningshastigheten eller i vardagsspråk "vinsten är mindre än förlusterna". Detta faktum har varit känt i decennier och utnyttjats för att kvantifiera tröskelbeteendet hos halvledarlasrar. Även långt över lasertröskeln är vinsten fortfarande en liten bit mindre än förlusterna. Det är exakt denna lilla skillnad som inducerar den ändliga linjebredden hos en CW-laser.

Det blir tydligt från denna härledning att lasern i grunden är en förstärkare av spontan emission, och cw-laserns linjebredd beror på den semi-klassiska effekten att förstärkningen är mindre än förlusterna. Också i de kvantoptiska tillvägagångssätten för laserlinjebredden, baserat på densitetsoperatörens masterekvation, kan det verifieras att förstärkningen är mindre än förlusterna.

Schawlow–Townes uppskattning

Som nämnts ovan är det tydligt från dess historiska härledning att den ursprungliga Schawlow-Townes-ekvationen är en fyrfaldig approximation av den grundläggande laserlinjebredden. Utgå från den grundläggande laserlinjebredden $\Delta \nu _{\rm {L}}$ härledd ovan, genom att tillämpa de fyra approximationerna i.–iv. man får då den ursprungliga Schawlow–Townes ekvationen.

1. Det är en äkta CW-laser, därför

   $R_{\rm {decay}}-R_{\rm {st}}=R_{\rm {sp }}\Högerpil$

   $\Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {1}{\Lambda }}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {R_{\rm {förfall }}-R_{\rm {st}}}{R_{\rm {förfall}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {R_{\rm {sp}}}{ R_{\rm {förfall}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}.$

2. Det är en äkta fyranivålaser, därför
   $N_{1}=0\ Högerpil cg=c(\sigma _{\rm {e}}N_{2}-\sigma _{\rm {a}}N_{1})=c\sigma _{\rm {e}}N_{2 }=R_{\rm {sp}}\Högerpil$
   $\Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {R_{\rm {sp}}}{R_{\rm {förfall}}}}\Delta \nu _{\rm {c }}={\frac {cg}{{\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}\varphi }}\Delta \nu _{\rm {c}}.$
3. Den har inga inre resonatorförluster, därför
   ${ \displaystyle {\frac {1}{\tau _{\rm {förlust}}}}=0\Rightarrow {\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}={\frac {1 }{\tau _{\rm {out}}}}\Rightarrow P_{\rm {out}}=h\nu _{\rm {L}}{\frac {1}{\tau _{\rm { ut}}}}\varphi =h\nu _{\rm {L}}{\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}\varphi \Rightarrow }$
   $\Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {cg}{{\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}\varphi }}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {cgh\nu _{\rm {L}}}{P_{\rm {out}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}.$
4. En foton kopplas in i lasrläget genom spontan emission under fotonavklingningstiden ${\displaystyle \tau _{\rm {c}}} ,$ vilket skulle ske exakt vid den oåtkomliga punkten för en idealisk fyrnivås CW-laser med oändlig spektralkoherensfaktor $\Lambda$ , fotonnummer $\varphi$ och uteffekt ${\displaystyle P_{\rm {out}}} ,$ där förstärkningen skulle vara lika med förluster, därav
   $R_{\rm {st}}=R_{\rm {sönderfall} }\Rightarrow R_{\rm {sp}}=cg={\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}=2\pi \Delta \nu _{\rm {c}}\ Högerpil$
   $\Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {cgh\nu _{\rm {L}}}{P_{\rm {out}}}}\Delta \nu _{\ rm {c}}={\frac {2\pi h\nu _{\rm {L}}(\Delta \nu _{\rm {c}})^{2}}{P_{\rm {ut }}}}=\Delta \nu _{\rm {L,ST}}.$

Dvs genom att tillämpa samma fyra approximationer i.–iv. till den grundläggande laserlinjebredden $\Delta \nu _{\rm {L}}$ som användes i den första härledningen, erhålls den ursprungliga Schawlow-Townes-ekvationen.

Således är den grundläggande laserlinjebredden

$\Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {1}{\Lambda }}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {R_{\rm { förfall}}-R_{\rm {st}}}{R_{\rm {förfall}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}=(1-cg\tau _{\rm {c} })\Delta \nu _{\rm {c}}=\Delta \nu _{\rm {c}}-{\frac {cg}{2\pi }},$

medan den ursprungliga Schawlow-Townes-ekvationen är en fyrfaldig approximation av denna grundläggande laserlinjebredd och bara är av historiskt intresse.

Ytterligare linjebreddsbreddande och avsmalnande effekter

Efter publiceringen 1958 utökades den ursprungliga Schawlow-Townes-ekvationen på olika sätt. Dessa utökade ekvationer handlar ofta under samma namn, "Schawlow–Townes linjebredd", vilket skapar en veritabel förvirring i den tillgängliga litteraturen om laserlinjebredden, eftersom det ofta är oklart vilken speciell förlängning av den ursprungliga Schawlow–Townes-ekvationen respektive författare. hänvisa till.

Flera halvklassiska utbyggnader avsedda att ta bort en eller flera av approximationerna i.–iv. som nämnts ovan, och gör därigenom steg mot den grundläggande laserlinjebredden som härleds ovan.

Följande förlängningar kan lägga till den grundläggande laserlinjebredden:

1. Hempstead och Lax , såväl som Haken , förutspådde kvantmekaniskt en ytterligare linjebreddsminskning med en faktor två nära lasertröskeln. En sådan effekt observerades dock endast experimentellt i en handfull fall.
2. Petermann härledde semi-klassiskt en tidigare experimentellt observerad linjebreddsbreddande effekt i förstärkningsstyrda jämfört med indexstyrda halvledarvågledarlasrar. Siegman visade senare att denna effekt beror på icke-ortogonaliteten hos tvärgående lägen. Woerdman och medarbetare utvidgade denna idé till longitudinella lägen och polarisationslägen. Som ett resultat läggs ibland den så kallade "Petermann K-faktorn" till laserns linjebredd.
3. Henry förutspådde kvantmekaniskt en ytterligare linjebreddsbreddning på grund av brytningsindexförändringar relaterade till elektron-hål-par excitation, som inducerar fasförändringar. Som ett resultat läggs ibland den så kallade "Henrys $\alpha$ -faktor" till laserns linjebredd.

Mätning av laserlinjebredd

En av de första metoderna som användes för att mäta koherensen hos en laser var interferometri . En typisk metod för att mäta laserns linjebredd är självheterodyn interferometri. Ett alternativt tillvägagångssätt är användningen av spektrometri .

Kontinuerliga lasrar

Laserlinjebredden i en typisk He–Ne-laser med enkel transversell mod (vid en våglängd på 632,8 nm), i frånvaro av intrakavitetslinjeavsmalnande optik, kan vara i storleksordningen 1 GHz. Sällsynta jordartsmetalldopade dielektriska eller halvledarbaserade distribuerade återkopplingslasrar har typiska linjebredder i storleksordningen 1 kHz. Laserlinjebredden från stabiliserade lågeffekts kontinuerliga våglasrar kan vara mycket smal och nå ner till mindre än 1 kHz. De observerade linjebredderna är större än den grundläggande laserlinjebredden på grund av tekniskt brus (temporala fluktuationer av den optiska pumpens effekt eller pumpström, mekaniska vibrationer, brytningsindex och längdförändringar på grund av temperaturfluktuationer, etc.).

Pulserande lasrar

Laserlinjebredden från högeffekts pulserande lasrar med hög förstärkning, i avsaknad av intrakavitetslinjeavsmalnande optik, kan vara ganska bred och i fallet med kraftfulla bredbandsfärglasrar kan den sträcka sig från några nm breda till så breda som 10 nm .

Laserlinjebredd från högeffekts pulsade laseroscillatorer med hög förstärkning, innefattande linjeavsmalnande optik, är en funktion av laserkavitetens geometriska och dispersiva egenskaper . Till en första approximation är laserns linjebredd, i en optimerad kavitet, direkt proportionell mot stråldivergensen för emissionen multiplicerad med inversen av den totala intrakavitetsspridningen . Det är,

$\Delta \lambda \approx \Delta \theta \left({\partial \Theta \over \partial \lambda }\right)^{-1}$

Detta är känt som kavitetens linjebreddsekvation där $\Delta \theta$ är stråldivergensen och termen inom parentes (förhöjd till -1) är den totala spridningen i kaviteten. Denna ekvation härleddes ursprungligen från klassisk optik. Men 1992 härledde Duarte denna ekvation från kvantinterferometriska principer, och kopplade därmed ett kvantuttryck med den totala vinkeldispersionen inom kaviteten.

En optimerad laseroscillator med flera prismagitter kan leverera pulsemission i kW-regimen vid enkel-longitudinella linjebredder på $\Delta \nu$ ≈ 350 MHz (motsvarande $\Delta \lambda$ ≈ 0,0004 nm vid en laservåglängd på 590 nm). Eftersom pulslängden från dessa oscillatorer är cirka 3 ns, är laserns linjebreddsprestanda nära gränsen som tillåts av Heisenbergs osäkerhetsprincip .

Se även

• Laser
• Fabry-Perot interferometer
• Stråldivergens
• Multipelprisma spridningsteori
• Laseroscillator med flera prismagitter
• N-slits interferometrisk ekvation
• Oscillatorns linjebredd
• Solid state färglasrar