Laplacetransform tillämpad på differentialekvationer

Inom matematik är Laplace -transformen en kraftfull integrerad transformation som används för att byta en funktion från tidsdomänen till s-domänen . Laplacetransformen kan i vissa fall användas för att lösa linjära differentialekvationer med givna initiala villkor .

Tänk först på följande egenskap hos Laplace-transformen:

${\mathcal {L}}\{f'\}=s{\mathcal {L}}\{f\}-f(0)$

${\mathcal {L}}\{f''\}=s^{2}{\mathcal { L}}\{f\}-sf(0)-f'(0)$

Det kan man bevisa genom induktion

${\mathcal {L}}\{f^{(n) }\}=s^{n}{\mathcal {L}}\{f\}-\summa _{i=1}^{n}s^{ni}f^{(i-1)}(0 )$

Nu betraktar vi följande differentialekvation:

$\sum _{i=0}^{n}a_{i}f^{(i)}(t)=\phi (t)$

med givna initiala förutsättningar

$f^{(i)}(0)=c_{i}$

Med hjälp av linjäriteten hos Laplace-transformen är det likvärdigt att skriva om ekvationen som

$\sum _{i=0}^{n}a_{i}{\mathcal {L}} \{f^{(i)}(t)\}={\mathcal {L}}\{\phi (t)\}$

erhållande

${\mathcal {L}}\{f(t)\}\summa _{i=0}^{n}a_{i}s^{i}-\summa _{i=1}^{ n}\summa _{j=1}^{i}a_{i}s^{ij}f^{(j-1)}(0)={\mathcal {L}}\{\phi (t) \}$

Lösa ekvationen för ${\mathcal {L}}\{f(t)\}$ och ersätta $f^{(i)}(0 )$ med $c_{i}$ får man

${\mathcal {L}}\{f(t)\}={\frac {{\mathcal {L}}\{\phi (t)\}+\summa _{i=1}^{ n}\summa _{j=1}^{i}a_{i}s^{ij}c_{j-1}}{\summa _{i=0}^{n}a_{i}s^{ i}}}$

Lösningen för f ( t ) erhålls genom att applicera den inversa Laplace-transformen på ${\mathcal {L}}\{f(t)\}.$

Observera att om de initiala förutsättningarna alla är noll, dvs

$f^{(i)}(0)=c_{i}=0\quad \forall i\in \{0,1,2,...\ n\}$

då förenklas formeln till

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{ {\mathcal {L}}\{\phi (t)\} \over \sum _{i=0}^{n}a_{i}s^{i}}\right\}$

Ett exempel

Vi vill lösa

$f''(t)+4f(t)=\sin(2t)$

med initiala villkor f (0) = 0 och f' (0)=0.

Vi noterar att

$\phi (t)=\sin(2t)$

och vi får

${\mathcal {L}}\{\phi (t)\}={\frac {2}{s^{2}+4}}$

Ekvationen är då ekvivalent med

$s^{2}{\mathcal {L} }\{f(t)\}-sf(0)-f'(0)+4{\mathcal {L}}\{f(t)\}={\mathcal {L}}\{\phi ( t)\}$

Vi drar slutsatsen

${\mathcal {L}}\{f(t)\}={\frac {2}{(s^{2}+4 )^{2}}}$

Nu tillämpar vi Laplace omvänd transformation för att få

$f(t)={\frac {1}{8}}\sin(2t)-{\frac { t}{4}}\cos(2t)$

Bibliografi

•   AD Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9