Langleys adventitious vinklar

Langleys adventitious vinklar

Lösning på Langleys 80-80-20 triangelproblem

Langley's Adventitious Angles är ett pussel där man måste sluta sig till en vinkel i ett geometriskt diagram från andra givna vinklar. Den ställdes av Edward Mann Langley i The Mathematical Gazette 1922.

Problemet

I sin ursprungliga form var problemet följande:

$ABC$ är en likbent triangel med $\angle {CBA}=\angle {ACB}=80^{\circ }.$

$CF$ vid $30^{\circ }$ till $AC$ skär $AB$ i $F.$

$BE$ vid $20^{\circ }$ till $AB$ skär $AC$ i $E.$

Bevisa $\angle {BEF}=30^{\circ }.$

Lösning

Problemet med att beräkna vinkel $\angle {BEF}$ är en standardtillämpning av Hansens resektion . Sådana beräkningar kan fastställa att $\angle {BEF}$ ligger inom vilken precision som helst på ${\displaystyle 30^{\circ }} ,$ men eftersom den endast har ändlig precision, lämna alltid tvivel om den exakta värde.

Ett direkt bevis med klassisk geometri utvecklades av James Mercer 1923. Denna lösning innebär att man ritar ytterligare en linje och sedan upprepar användningen av det faktum att de inre vinklarna i en triangel summeras till 180° för att bevisa att flera trianglar ritade inom stora triangeln är alla likbenta.

Rita $BG$ vid $20^{\circ }$ till $BC$ som skär $AC$ vid $G$ och rita $FG.$ (Se bilden nere till höger.)

Eftersom $\angle {BCG}=80^{\circ }$ och $\angle {CBG}=20^{\circ }$ sedan $\angle {BGC}=80^{\circ }$ och triangeln $BCG$ är likbent med $BC=BG.$

Eftersom $\angle {BCF}=50^{\circ }$ och $\angle {CBF}=80 ^{\circ }$ sedan $\angle {BFC}=50^{\circ }$ och triangeln $BCF$ är likbent med $BC=BF.$

Eftersom $\angle {FBG}=60^{\circ }$ och $BF=BG$ sedan triangeln $BGF$ är liksidig .

Eftersom $\angle {BGE}=100^{\circ }$ och $\angle {GBE}=40^{\circ }$ då $\angle {GEB}=40^{\circ }$ och triangeln $BGE$ är likbent med $GB=GE.$

Därför är alla röda linjer i figuren lika.

Eftersom $GE=GF$ triangel $EFG$ är likbent med $\angle {GEF}=70^{\circ }.$

Därför $\angle {BEF}=30^{\circ }.$

Många andra lösningar är möjliga. Klipp knutlistan med tolv olika lösningar och flera alternativa problem med samma 80-80-20 triangel men olika inre vinklar.

Generalisering

oavsiktliga fyrkantsproblem

En fyrhörning som BCEF kallas en tillfällig fyrkant när vinklarna mellan dess diagonaler och sidor alla är rationella vinklar, vinklar som ger rationella tal när de mäts i grader eller andra enheter för vilka hela cirkeln är ett rationellt tal. Många oavsiktliga fyrkanter utöver den som förekommer i Langleys pussel har konstruerats. De bildar flera oändliga familjer och ytterligare en uppsättning sporadiska exempel.

Att klassificera de tillfälliga fyrkanterna (som inte behöver vara konvexa) visar sig vara likvärdigt med att klassificera alla trippelskärningar av diagonaler i vanliga polygoner. Detta löstes av Gerrit Bol 1936 (Beantwoording van prijsvraag # 17, Nieuw-Archief voor Wiskunde 18, sidorna 14-66). Han klassificerade faktiskt (men med några få fel) alla multipla skärningspunkter av diagonaler i vanliga polygoner. Hans resultat (alla gjorda för hand) bekräftades med dator, och felen korrigerades, av Björn Poonen och Michael Rubinstein 1998. Artikeln innehåller en historia av problemet och en bild som visar den vanliga triakontagonen och dess diagonaler.

År 2015 publicerade en anonym japansk kvinna med pseudnamnet "aerile re" den första kända metoden (metoden med 3 circumcenters) för att konstruera ett bevis i elementär geometri för en speciell klass av tillfälliga fyrkantsproblem. Detta arbete löser det första av de tre olösta problem som Rigby nämnde i hans uppsats från 1978.

externa länkar

• Angular Angst , MathPages